Measure-theoretic chaos

TOMASZ DOWNAROWICZ, YVES LACROIX
2012 Ergodic Theory and Dynamical Systems  
We define new isomorphism-invariants for ergodic measure-preserving systems on standard probability spaces, called measure-theoretic chaos and measure-theoretic$^+$ chaos. These notions are analogs of the topological chaoses {\rm DC2} and its slightly stronger version (which we denote by {\rm DC}{\small$1\tfrac12$}). We prove that: 1. If a \tl\ system is measure-theoretically (measure-theoretically$^+$) chaotic with respect to at least one of its ergodic measures then it is \tl ly {\rm DC2}
more » ... tl ly {\rm DC2} ({\rm DC}{\small$1 \tfrac12$}) chaotic. 2. Every ergodic system with positive Kolmogorov--Sinai entropy is measure-theoretically$^+$ chaotic (even in a bit stronger uniform sense). We provide an example showing that the latter statement cannot be reversed, a system of entropy zero with uniform measure-theoretic$^+$ chaos. \bigskip \centerline{\bf R\'esum\'e} Nous introduisons de nouveaux invariants pour les syst\'emes dynamiques d\'efinis sur des espaces probabilis\'es standards, appel\'es respectivement {\rm chaos mesur\'e} et {\rm chaos$^+$ mesur\'e}. Ces notions sont des analogues du chaos topologique {\rm DC2} et de l'une de ses variantes, renforc\'ee, que nous appelons {\rm DC}{\small$1 \tfrac12$}. Nous montrons d'une part que si un syst\'eme dynamique topologique est chaotique (resp. chaotique$^+$) au sens da la mesure relativement \'a\ l'une de ses mesures invariantes ergodiques, alors il l'est du point de vue topologique au sens correspondant. Nous montrons que tout syst\'eme ergodique d'entropie m\'etrique positive est chaotique$^+$ au sens de la mesure (m\^eme en un sens plus fort, i.e. {\rm uniform\'ement}). Nous donnons enfin un exemple de syst\'eme dynamique topologique d'entropie nulle qui pr\'esente pour l'une de ses mesures invariantes ergodiques un chaos$^+$ mesur\'e uniforme.
doi:10.1017/etds.2012.117 fatcat:2tuwmtmy3bh45hiizi4cc3kjkm