Literaturverzeichnis 121 Symbolverzeichnis 126 EINLEITUNG 5 Einleitung In der vorliegenden Arbeit wird eine Konstruktion des Teichmüllerraumes Riemannscher Flächen angegeben, die sich sogenannter infinitesimaler Deformationen bedient. Der Ursprung der Teichmüllertheorie ist in einer Idee von Bernhard Riemann zu sehen, der die Anzahl der Parameter von Isomorphie-Klassen algebraischer Gleichungen in zwei Unbekannten untersuchte, das entspricht Klassen von Riemannschen Flächen modulo

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... quivalenz ([Rie]). Er stellte fest, dass diese Isomorphieklassen bei Riemannschen Flächen vom Geschlecht g ≥ 2 von 3g − 3 komplexen Parametern abhängen. Erst achtzig Jahre später fand Oswald Teichmüller, dass bei einer geeigneten Modifizierung desÄquivalenzbegriffes die Isomorphieklassen Riemannscher Flächen eine (6g − 6)-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit bilden. Seine grundlegenden Ideen legte er in dem Artikel " Extremale quasikonforme Abbildungen" [Te1] und zwei weiteren Artikeln ([Te2], [Te3]) aus den Jahren 1938 bis 1944 dar. Er führte auch die nach ihm benannte Metrik ein. Ahlfors und Bers bauten die Ideen Teichmüllers aus und begründeten die moderne Teichmüller-Theorie. Auch sie benutzten bei ihren Konstruktionen quasikonforme Abbildungen, konnten aber weitreichendere Resultate zeigen, wie z. B., dass der Teichmüllerraum auch eine komplexe Struktur hat. Den Zugang von Teichmüller/Ahlfors/Bers findet man in vielen modernen Lehrbüchern, wovon hier die Bücher von Imayoshi, Gardiner und Nag ([Im], [Ga1], [Nag]) genannt seien. Eine andere Konstruktion des Teichmüllerraumes fanden Fischer und Tromba mit Hilfe von Riemannschen Metriken konstanter Krümmung ([FiT], [Tro]). Die Untersuchungen Teichmüllers können als Vorläufer der modernen Theorie der Modulräume gesehen werden, einer Theorie, die sich kurzgefasst mit Familien von Objekten der algebraischen Geometrieüber einer Basis und Aquivalenzrelationen auf diesen Familien beschäftigt. Eine zentrale Rolle in dieser Theorie spielen feine und grobe Modulräume. Im Falle von Riemannschen Flächen mit Teichmüller-Markierungen lässt sich beispielsweise ein feiner Modulraum konstruieren, d. h. eine universelle Familie, aus der sich alle anderen Familien (mittels Basiswechsel) gewinnen lassen, während für Riemannsche Flächen ohne Markierung nur ein grober Modulraum existiert. Die Konstruktion des feinen Modulraumes der markierten Riemannschen Flächen gelang zuerst Alexander Grothendieck ([Gro]). Sein Beweis ist sehr tiefliegend, beschränkt sich nicht nur auf Riemannsche Flächen, sondern 1 Der Begriff " flach" ist eineÜbersetzung der englischen " flat". Im Französichen wird dafür die Bezeichnung " plat" verwendet, so dass viele Autoren dieÜbersetzung " platt" wählen. " Platt und " flach" sind also Synonyme.