ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE IX (1965)

M Uczma, Katowice
unpublished
Einige Siitze iiber die Reduktion der Ordnung der Fimktionalgleicłiungen § 1. Iii dieser Kote beschaftigen wir uns mit dem Problem der Be­ duktion der Ordnung fur gewisse Funktionalgleichungen. Die bewiesenen Satze haben jedoch nicht den Charakter einer vollstandigen Theorie, sie bilden eher eine Illustration der in der vorhergehenden Arbeit eingefiihrten Begriffe(x). Definition 1 (ygl. [2]). Zwei Funktionalgleichungen heissen in einer Funktionenklasse Ф(2) dquivalent, falls sie in Ф genau
more » ... sie in Ф genau dieselben Lósungen haben, d. h. falls jede Funktion, die zur Klasse Ф gehdrt und einer der Gleichungen geniigt, auch der anderen geniigt. Definition 2. Eine gewohnliche Funktionalgleichung von Typus [s ,w ,i] heisst in einer Funktionenklasse Ф entsprechend um Stufe к, um Ordnung k, oder um Schachtelungsexponenten к reduzierbar, wenn sie in der Klasse Ф einer Gleichung yon Typus [s-k,n,i], [s, n-k, i], oder [s,n ,i-k] Equivalent ist. Man kann auch die Reduktion im engeren 8inne betrachten, indem man fordert, dass die gegebene Gleichung in der Klasse Ф einer Gleichung (mit einer kleineren Stufe, Ordnung, oder einem kleineren Schachtelungs-exponenten) Equivalent sei, in welcher die bekannten Funktionen einige Nebeneigenschaften bewahren (z. B. sie sind stetig, differenzierbar, linear, usw.). Die Beduktion der Stufe fur gewisse Klasse der Funktionalgleichun­ gen wurde von J. Aczel und H. Kiesewetter ([2], [6]) untersucht. Die Beduktion der Ordnung und des Schachtelungsexponenten ist bisher nicht systematisch untersucht worden, obwohl jeder Satz, der die Aqui-valenz zweier gewohnliehen, sich nur mit einem Parameter (Stufe, Ordnung, oder Schachtelungsexponent) unterscheidenden Funktionalgleichungen feststellt, auch die Moglichkeit der Beduktion dieses Parameters fest-stellt. Insbesondere stellt jeder Satz tiber die Eindeutigkeit der Losungen (1) Betreffs aller Definitionen wird der Leser an die Arbeit [9] verweist. (2) Der Definitionsbereich der betraebteten Losungsfunktionen sei in der De­ finition der Funktionenklasse Ф entbalten.
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