We present two inequalities for liftings of smooth maps from the torus T d into the unit circle S 1 . Using these inequalities, we answer a question of J. Bourgain, H. Brezis, and P. Mironescu in [J. Bourgain, H. Brezis, P. Mironescu, Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005) 529-551] and establish an estimate of liftings in the spirit of R.R. Coifman and Y. Meyer [R.R. Coifman, Y. Meyer, Une généralisation du théorème de Calderon sur l'intégrale

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... Cauchy, in: Fourier Résumé Inégalités relatives aux relèvements et applications. Nous présentons deux inégalités pour des relèvements des applications régulières du tore T d dans le cercle unité S 1 . Ces inégalités nous permettent de répondre à une question de J. Bourgain, H. Brezis, et P. Mironescu dans [J. Bourgain, H. Brezis, P. Mironescu, Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005) 529-551] et d'établir une estimation des relèvements dans l'esprit de R.R. Coifman et Y. Meyer [R.R. Coifman, Y. Meyer, Une généralisation du théorème de Calderon sur l'intégrale de Théorème 1. Soient d 1 un entier, T d le tore de dimension d, ψ ∈ C ∞ (T d , R), et g = e iψ . Alors il existe ψ 1 , ψ 2 ∈ C ∞ (T d , R) telles que ψ = ψ 1 + ψ 2 ,