Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen

Sophus Lie
1872 Mathematische Annalen  
Ueber Complexe, insbesondere Linien-mid Kugcl-Comph,xe, m i t A n w e n d u n g auf die Theorie p~n't.ielh,r l)ifll,rt.nJial-Gleichtmgen. Vol~ SopuuS lm,~' in ('t~ats'rtANXa. I. Die rasche Entwickelung der Geometrie in tmserem .lahrhumlert ist bekannLlich innig mit philosophischen Betraehtungeu ilber alas Wesen der C a r t e s i s e h e n Geometric verkn{ipft, Betrachtungen. die in ihrer allgemeinsten Form yon Plfieker in seinen et.~t"n Arbeiten auseinandergesetzt, woMeu sind. li'fir
more » ... . li'fir denjenigen, der in den tleisI der Pliicker'sehen Werke elngedrungen ist, wird der Godauke, dass man vine jedc Curve, die yon drei Parametern abhi~ngt, als Raumelement anwenden kann, nichts wesentlieh Neues enihalteu, mtd weun doeh Niomand, soviel ieh weiss, diese hh,e ausgef|lhrt haL, so glaube ieh (lie Ursaehe darin suehen zu milssen, dass ma, dersolb~,n kei/ten praktisehen Werth beigelegt hat. Ieh bin zu "ilwm Studium tier genannten Theorie dadureh gef'iihrt worden~ dass ich eine merkwitrdige Transformation entdeckte, die einen genauen Zusammenhang zwischen Krfimmungslinien und Haupttangenten-Curven darlegt~ und es ist meine Absieht~ in der folgenden Abhandung die Resultaie, die ieh in die*or Weise erhalten hab% auseinander zu setzen. Im ersten Abschnit~e besehiiftige ieh reich mit Curven-Complexon, das heisst mit Mannigfaltigkeiten, die yon dreifaeh unendlieh vielen Curven gebilde~ werden. Alle Fl~cheib die yon einflu:h unendlieh vie-Ion Curven eines gegebenen Complexes gebildet werde~, genflgen ether partiellen Differential-Gleiehm~g zweiter Ordnung, (lie "als sitaguiilrea erstes Integral eine partielte Differentiat-Gleiehung erster Ordnung zuliisst. Ftir partielle Differential-Gleiclmngen erster Ordnung erhalt~. ich in dieser Weise eine neue geometrische Interpretation, die insbesondere, worm der besproehene Complex eta Pltteker'scher Linien-Complex ist, Interesse darbietet. ~ Ebenso wie die allgem,qne GMehung l~'(xyz X Y Z )~ 0 ats aequatio direetrix eine ltecipr"eitiit im Mathematlsche Annalon. Y-Sop,us l,r~. w Rociproei~t zwisohon zwoi Ebonen odor zwoi P~umon.
doi:10.1007/bf01446331 fatcat:parfsowoybg3hdvsoyaxbqqdjy