Zusammenfassung Variationsmethoden spielen eine grundlegende Rolle in der mathematischen Bildverarbeitung als Bindeglied zwischen Modellen und Algorithmen. Es ist oft schwierig, ein gegebenes Modell auf ein handhabbares Optimierungsproblem abzubilden. Zuletzt wurde große Fortschritte bei der (näherungsweisen) Lösung lokaler Modelle durch konvexe Relaxationen gemacht. Doch nicht-lokale Modellierungsaspekte, wie z.B. die Form des gesuchten Objekts, stellen weiter eine große Herausforderung dar.

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... dieser Dissertation werden verschiedene mathematische Abstraktionen des Konzepts 'Form' studiert und, darauf basierend, Funktionale entwickelt, zur Einbringung von Vorwissenüber die Objektform in variationelle Segmentierungsverfahren. Besondere Aufmerksamkeit wird der Invarianz der Funktionale unter Isometrien und der Kompatibilität mit den bereits existierenden konvexen Funktionalen für das Segmentierungsproblem gewidmet. Das Transportproblem wird als zentrales Werkzeug zur Modellierung und Berechnung von Korrespondenzen zwischen verschiedenen Formen eingesetzt. Auf Basis der berechneten Korrespondenzen kann ein aussagekräftiges Ahnlichkeitsmaß für Formen definiert werden. Unter diesem Blickwinkel wird zwischen den, in gewisser Weise komplementären, Darstellungen einer Form durch die Fläche die sie einnimmt oder durch ihre Kontur, eine Verbindung erkennbar. Dies ermöglicht die Kombination der jeweiligen Stärken. Ohne weiteres ist der implizierte Rechenaufwand der vorgestellten Funktionale sehr hoch. Daher werden geeignete hierarchische Optimierungsverfahren entwickelt. Abstract Variational methods play a fundamental role in mathematical image analysis as a bridge between models and algorithms. A major challenge is to formulate a given model as a feasible optimization problem. There has been a huge leap in that respect concerning local data models in the framework of convex relaxation. But non-local concepts such as the shape of a sought-after object are still difficult to implement. In this thesis we study mathematical representations for shapes and develop shape prior functionals for object segmentation based thereon. A particular focus is set on the isometry invariance of the functionals and the compatibility with existing convex functionals for image labelling. Optimal transport is used as a central modelling and computational tool to compute registrations between different shapes as a basis for a shape similarity measure. This point of view leads to a link between the two somewhat dual representations of a shape by the region it occupies and its outline, allowing to combine their respective strengths. Naïvely the computational complexity implied by the derived functionals is unfeasible. Therefore suitable hierarchical optimization methods are developed.