The Gaussian conditional independence inference problem [article]

Tobias Boege, Universitäts- Und Landesbibliothek Sachsen-Anhalt, Martin-Luther Universität, Thomas Kahle, Volker Kaibel
2022
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit Strukturen Gaußscher bedingter Unabhängigkeit und ihrem Inferenzproblem. Bedingte Unabhängigkeit (engl. conditional independence, CI) ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeits- und Informationstheorie und "Gaußsch" bezieht sich auf die bekannte multivariate Normalverteilung. Die CI-Relation einer multivariaten Zufallsvariable , deren Komponenten durch eine endliche Menge N indiziert sind, enthält Informationen darüber, welche Komponenten I die
more » ... Verteilung anderer Komponenten J beeinflussen, wenn der Wert wieder anderer Komponenten K bekannt ist. Diese Relation wird als [ I ?? J j K] oder kurz (I; JjK) geschrieben. Bedingte Unabhängigkeit ist also eine dreiwertige Relation auf Teilvektoren von , die komplexe Abhängigkeiten zwischen den Variablen in kodiert. CI-Relationen werden formal in einem Zweig der künstlichen Intelligenz über logische Inferenzregeln studiert. Solche Inferenzregeln nehmen die folgende Form an: "wenn bestimmte bedingte Unabhängigkeiten gelten, welche (Disjunktionen von) anderen Unabhängigkeiten müssen ebenfalls gelten?" Kenntnis dieser Regeln erlaubt die automatische Deduktion von Informationen über die Abhängigkeitsstruktur von beobachteten Zufallsvariablen. Die Regeln, welche für CI-Relationen gelten, hängen von der Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung ab. Binäre Verteilungen erfüllen beispielsweise andere Inferenzregeln als die kontinuierlichen Gaußschen Verteilungen. Eine multivariat Gauß-verteilte Zufallsvariable ist vollständig durch ihre Parameter, den Mittelwert 2 RN und die Kovarianzmatrix Σ 2 PDN, bestimmt. Unter dieser speziellen Annahme ist die bedingte Unabhängigkeitsaussage [ I ?? J j K] äquivalent zu einer Rangbedingung an die Teilmatrix von Σ mit Zeilen I [ K und Spalten J [ K, nämlich dass diese Matrix Rang jKj hat. Dieses Kriterium erlaubt die Behandlung von Gaußscher CI mit Mitteln der kommutativen Algebra, da die Rangbedingung als das Verschwinden einer Reihe von Polynomen in den Einträgen von Σ formuliert werden kann. Das [...]
doi:10.25673/86275 fatcat:ltjuwngiyzhbpgoy45wwcjzp7y