On generic complexity of the problem to represent natural numbers by sum of two squares
О генерической сложности проблемы представимости натуральных чисел суммой двух квадратов

A.N. Rybalov, S. L. Sobolev Institute of Mathematics SB RAS
2020 Prikladnaya diskretnaya matematika Prilozhenie  
Математические основы информатики и программирования 111 Теорема 1. Сложность алгоритма 1 равна O N g d N , где g и d некоторые целые числа. Несмотря на то, что сложность данного алгоритма высокая, он может быть использован для синтаксического анализа применительно к языку программирования, находящемуся в стадии разработки. ЛИТЕРАТУРА 1. Изучается генерическая сложность проблемы представимости натуральных чисел суммой двух квадратов. Эта проблема, восходящая ещё к Ферма и Эйлеру, тесно связана
more » ... проблемами факторизации целых чисел и распознавания квадратичности вычетов по составным модулям, для решения которых не известно эффективных алгоритмов. Доказывается, что, при условии трудноразрешимости этой проблемы в худшем случае и P = BPP, для её решения не существует полиномиального сильно генерического алгоритма. Сильно генерический алгоритм решает проблему не на всём множестве входов, а на подмножестве, последовательность относительных плотностей которого при увеличении размера экспоненциально быстро сходится к 1. Ключевые слова: генерическая сложность, суммы квадратов, диофантовы уравнения. Введение Проблема представимости натуральных чисел суммой двух квадратов состоит в том, чтобы по любому заданному натуральному числу N определить, разрешимо ли в натуральных числах диофантово уравнение x 2 + y 2 = N . Эта задача восходит ещё к Ферма, который в 1640 г. сформулировал (см. [1, 2]) следующее красивое утверждение: любое простое число вида p = 4n + 1 представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Эта гипотеза впоследствие была доказана Эйлером и называется теперь теоремой Ферма Эйлера [1, 2]. В дальнейшем был получен критерий Ферма Эйлера разрешимости диофантова уравнения x 2 + y 2 = N для любого натурального N . Однако этот критерий сводит проблему к задаче факторизации (разложения на множители) целых чисел, которая на текщий момент считается трудноразрешимой [3] . Таким образом, критерий Ферма Эйлера не может быть проверен эффективно (за полиномиальное от размера входа время). Генерический подход к алгоритмическим проблемам предложен в [4] . В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всём множестве входов, а на некотором подмножестве почти всех входов. Такие входы образуют генерическое множество. Понятие почти все формализуется введением естественной меры на
doi:10.17223/2226308x/13/33 fatcat:iaq3vshsbba5hajigacruzvg7y