Non-linear structure formation in the gravitational "N"-body problem

Thierry Baertschiger, Ruth Durrer
2004
UNIVERSITÉ DE GENÈVE FACULTÉ DES SCIENCES Département de physique théorique Mme Professeur R. DURRER Préface Je suis finalement arrivé à la fin de ces quatre années de thèse. Une bonne partie de ce que j'ai pu apprendre se trouve dans ce document, écrit entre avril et septembre 2004. Six mois que j'ai passés principalement dans ma cuisine à tenter de mettre sous forme écrite un certain nombre de résultats plus ou moins aboutis, obtenus entre décembre 2000 et juillet 2004. J'ai maintenant enfin
more » ... i maintenant enfin le droit d'écrire cette préface et d'en profiter pour remercier tous les gens qui ont un lien avec cette thèse. Ces quatre années passées au sein du département de physique théorique de l'université de Genève auront été pour moi fabuleuses. J'ai eu la chance d'apercevoir ce qu'était le monde de la recherche scientifique et de faire de nombreuses rencontres. Je garderai un souvenir extraordinaire de cette période de ma vie. Pour commencer la liste des remerciements, j'aimerais tout d'abord dire un très grand merci à Ruth Durrer. C'est elle qui, en m'engageant comme assistant, m'a permis de vivre cette jolie aventure. Elle est aussi responsable du sujet de cette thèse sur lequel j'ai eu énormément de plaisir à travailler. Concernant mon travail, la personne avec qui j'ai le plus collaboré est Francesco Sylos Labini. Si ces quatre années de thèse se sont aussi bien déroulées, je pense qu'il en est en bonne partie responsable. C'est un plaisir que de pouvoir travailler avec quelqu'un qui possède tant d'énergie et d'humour. Il a été pour moi une source importante de motivation. Je le remercie aussi d'avoir accepté de faire partie du jury pour cette thèse. Grâce à Francesco, j'ai aussi pu collaborer avec Michael Joyce qui a beaucoup amené au contenu scientifique de cette thèse. Il nous a aussi donné l'occasion de travailler dans des lieux "extraordinaires" : parcs pour enfants, cafés et même un hôpital. J'en profite pour le remercier aussi d'avoir accepté d'être l'un des membres du jury. Parmi les gens avec lesquels j'ai passé beaucoup de temps, je tiens tout d'abord à remercier celui qui a partagé mon bureau pendant trois ans : Rafael Tiedra de Aldecoa dit "Rafou". L'ambiance qui a régné dans ce bureau a été vraiment incroyable. Je pense que cela a joué un grand rôle sur le plaisir que j'ai eu à y venir travailler chaque jour durant ces quatre ans. "Manu" Zabey a aussi permis de rendre le couloir sombre du deuxième étage de SCI un peu plus joyeux. Son bureau toujours ouvert m'a permis à de nombreuses reprises de venir m'y changer les idées et d'en profiter pour apprendre des notions concernant la théorie des systèmes dynamiques. Dans le même bureau, j'ai aussi appris plusieurs noeuds d'alpiniste et organiser quelques sorties d'escalade au Salève grâce à Florian "Dülfer" Dubath. Dans un autre bureau, Christophe Ringeval a toujours préparé de très bons cafés. i J'y ai d'ailleurs, en plus, passé de bon moments à discuter notamment de nos expéditions au Mont-Rose et au Mont-Blanc. J'ai aussi passé de nombreux moments avec Cyril Cartier pour préparer le cours des compléments de mathématiques I ainsi que celui de mécanique quantique II. Ce fut un réel plaisir de travailler avec lui. J'aimerais aussi remercier Daniele Steer. Elle n'a malheureusement passé qu'une année à Genève et je n'ai donc pas pu la côtoyer tous les jours pendant les trois dernières années de ma thèse. Malgré cela, elle a été pour moi, durant toute la durée de ma thèse, comme une grande soeur en s'intéressant à mon travail et en me donnant toujours de précieux conseils. Je la remercie aussi d'avoir accepté de corriger l'anglais dans l'introduction de cette thèse. Parmi les quelques physiciens avec qui j'ai eu la chance de discuter au sujet de certains aspects traités dans cette thèse, je tiens à remercier Andrea Gabrielli. Même si je n'ai pour l'instant pas pu collaborer directement avec lui, de nombreux résultats dans cette thèse ont un lien étroit avec les travaux qu'il a réalisés avec Francesco Sylos Labini et Michael Joyce. Je le remercie aussi de m'avoir accueilli à Rome à deux reprises. J'aimerais remercier aussi William C. Saslaw que je n'ai malheureusement rencontré qu'une seule fois à Paris. Je regrette de ne pas avoir pu discuter dans cette thèse des quelques résultats que nous avons obtenus concernant sa théorie thermodynamique de la formation des structures dans les système gravitationnels. Je remercie aussi Daniel Pfenniger. Il nous a toujours fait part de ses commentaires concernant nos travaux et cela a toujours été pour moi une source d'encouragement. Il nous a aussi permis d'utiliser un des "clusters" de l'observatoire de Genève pour réaliser toutes les simulations numériques discutées dans cette thèse. Merci aussi à Adrian Melott avec qui nous avons échangé quelques emails et qui nous a toujours encouragé dans notre recherche un peu originale par rapport à tout ce qui se fait dans le monde des simulations à N corps en cosmologie. Je ne peux me permettre d'oublier Maurizio Bottaccio avec qui j'ai vraiment commencé à étudier les systèmes gravitationnels. Il m'a notamment appris à utiliser GADGET, le programme qui a permis de réaliser toutes les simulations présentées dans cette thèse et j'oserai même dire que cette thèse est un peu une suite de la sienne. Je remercie aussi Jean-Pierre Eckmann avec qui j'ai eu la chance de discuter à plusieurs reprises. Il m'a notamment fait part de sa vision de la science, et j'imagine que cela doit déjà m'avoir influencé. Je dois en plus le remercier d'avoir accepté de faire partie du jury de cette thèse même si finalement, il n'a malheureusement pas pu assister à ma soutenance. J'aimerais aussi remercier Peter Wittwer avec qui j'ai aussi discuté à plusieurs reprises et qui a accepté d'être l'un des jurés de ma thèse. Je remercie encore tous les physiciens suivants, qui ont tous participé à faire de mes quatre années de thèse ce qu'elles ont été : et les physiciens-musiciens Sam Leach et Timon Boehm. J'aimerais aussi remercier Danièle Chevalier, Francine Gennai-Nicole et Cécile Jaggi, les trois secrétaires du département de physique théorique. Ce fut toujours un plaisir que d'aller faire un peu d'«administratif» dans un de leurs bureaux. Finalement, un grand merci à Andreas Malaspinas pour sa gentillesse et sa disponibilité lorsqu'il fallait installer un programme sur l'une des «îles grecques» du système informatique du département de physique théorique 1 ou trouver un peu de place pour stocker quelques «gigas». J'imagine qu'il n'existe aucun autre endroit dans le monde où l'on puisse trouver un responsable informatique aussi sympathique. 1 Chaque ordinateur porte le nom d'une île grecque. ii iv toutes ces répliques, on obtienne la même valeur que celle que l'on mesurerait dans l'état le plus probable du système. Ceci implique que deux répliques, aussi semblables soient-elles initialement, se retrouvent dans des états complètement différents après un certain temps, comme si elles oubliaient leurs conditions initiales. C'est en fait exactement ce qu'il se passe dans un système chaotique. Un tel système est donc exactement le type de système qui peut être traité dans le cadre de la mécanique statistique. Si un système gravitationnel à trois corps est chaotique, tout système gravitationnel composé de plus que trois corps l'est aussi. Un système gravitationnel à N corps doit donc pouvoir être étudié dans le cadre de la mécanique statistique. Cependant si l'on regarde dans n'importe quel livre de mécanique statistique, on n'a que peu de chance de trouver une quelconque information concernant ce sujet, même si c'est par lui que le chaos, ingrédient essentiel de la mécanique statistique, a été découvert. Qu'y a-t-il donc de si particulier dans un système gravitationnel ? La gravitation a une propriété qui la rend différente des autres interactions : elle est à longue portée. Deux corps, aussi éloignés soient-ils, seront toujours attirés l'un vers l'autre avec une force inversement proportionnelle au carré de leur distance. On peut immédiatement répondre que deux charges électriques de signes opposés le sont aussi. La force électrique est donc aussi particulière. Ceci est tout à fait juste mais la situation est différente puisqu'il existe justement deux types de charge et que deux charges du même signe se repoussent. Dans un système avec autant de charges positives que de charges négatives, la force électrique tend à créer des amas de charges neutres de sorte que la force entre deux amas est presque nulle. C'est exactement ce qui se passe dans un gaz. Les molécules du gaz ont une charge électrique nulle et la force entre deux de ces molécules est négligeable sauf lorsqu'elles se touchent. Ainsi, la force électrique donne souvent lieu à des situations physiques dans lesquelles sa longue portée ne joue plus aucun rôle. C'est ce que l'on appelle effets d'écrantage ou de screening. Dans un système gravitationnel par contre, quoi qu'il arrive, la matière s'attire toujours à toutes les échelles. Cela explique pourquoi la force gravitationnelle est la seule interaction qui survit et domine à grande échelle, même si son intensité est beaucoup plus faible que les autres forces. Depuis plus d'un siècle, la majorité de ce qui a été étudié dans le cadre de la mécanique statistique concerne des systèmes dont les différents constituants interagissent au moyen d'une force à courte portée. Cela permet de considérer différentes régions d'un système comme des systèmes indépendants, puisque les effets dus aux interactions entre ces régions sont négligeables. De nombreux résultats sont obtenus à partir de cette approximation. 2 Dans un système gravitationnel, cette approximation n'est pas possible. Si l'on considère un gaz classique dans une boîte cubique, c'est-à-dire un ensemble de N particules qui interagissent par collisions, il occupe, après un certain temps, tout le volume disponible et ceci indépendamment des conditions initiales. 3 La température et la densité du gaz sont alors très uniformes dans la boîte. Si l'on considère maintenant un système gravitationnel, la situation est différente. On suppose que c'est un système identique au gaz, c'est-à-dire N particules dans une boîte cubique qui interagissent par collisions, mais on suppose en plus que l'énergie cinétique totale de ces particules est faible par rapport à l'énergie potentielle gravitationnelle (système «lié»). Ainsi les effets dus à la gravitation sont importants. L'état d'équilibre d'un tel système n'est pas comme dans le gaz simple. La densité ainsi que la température ne sont en fait plus du tout uniformes dans 2 La définition de la température d'un point de vue microscopique est obtenue à partir de cette simplification. Ceci permet ensuite de définir les ensembles canoniques et grand-canoniques -à partir de l'ensemble microcanonique -dans lesquels la plupart des résultats sont obtenus. Voir le chapitre 2 de cette thèse. 3 Il faut bien entendu une énergie cinétique non nulle et éviter des configurations trop particulières. v la boîte. Les corps forment un amas ou cluster. Au centre de cette structure, la densité est très importante mais elle diminue si l'on s'en écarte. A une certaine distance, on ne trouve en fait presque plus de particules. La situation est donc bien plus compliquée que dans le gaz simple. On suppose maintenant que la taille des boîtes qui contiennent le gaz et le système gravitationnel augmente mais que l'on rajoute aussi des particules de sorte que le rapport N/V entre le nombre de particules et le volume des boîtes reste constant. On distribue les particules dans les deux systèmes de manière aléatoire avec une petite vitesse, elle aussi aléatoire. Dans le gaz, l'état d'équilibre est toujours le même : au bout d'un certain temps la densité et la température sont uniformes dans toute la boîte. On peut même supposer que le nombre de particules N et le volume V tendent vers l'infini, c'est-à-dire considérer la limite thermodynamique 4 : tant que le rapport N/V et l'énergie par particule restent constants, l'état d'équilibre reste le même. Dans le cas du système gravitationnel, la situation est encore différente. Tant que V et N restent finis, le système atteint un état d'équilibre caractérisé par un amas comme on vient de le décrire. Cependant, si l'on considère la limite thermodynamique, il n'y a plus d'état d'équilibre. Dans le cas fini, la distribution initiale aléatoires des particules engendre une force gravitationnelle qui les attirent vers les centre de la boîte. Dans le cas infini, il n'y a plus de centre comme le dit Newton dans sa réponse à R. Bentley. On assiste alors à l'évolution suivante. Au début, des petits amas de quelques particules se forment un peu partout. Des amas proches l'un de l'autre commencent alors à s'attirer et former des amas plus gros. Ce processus continue sans fin : des amas contenant de plus en plus de particules se créent partout à partir d'amas plus petits. Puisque le système est infini, il n'y a pas de limite à la taille de ces amas et donc pas d'état d'équilibre possible. Un système gravitationnel est donc bien plus complexe d'un système typique étudié en mécanique statistique comme le gaz simple que nous avons considéré. Ainsi, même si le problème à N corps gravitationnel est un vieux problème, les questions qu'ils soulèvent sont toujours d'actualité. Le sujet de cette thèse Le scénario un peu simplifié de l'évolution d'un système gravitationnel infini que l'on vient de décrire est en fait le sujet de cette thèse. Le but est d'étudier comment les particules, à partir d'une distribution initiale homogène, forment des structures comme les amas ou clusters dont on vient de parler ( fig. 1 ). Quelle est par exemple la taille moyenne d'une structure à un temps donné ? Peut-on déterminer la forme de ces structures ? Voilà deux questions auxquelles cette thèse tente de répondre. La majeure partie des résultats présentés est basée sur des simulations numériques. Il n'est évidemment pas possible de simuler un nombre infini de particules dans un volume infini. Ces simulations sont donc réalisées en considérant des distributions périodiques de particules. Il suffit alors d'étudier uniquement l'évolution d'un nombre fini N de particules comme illustré dans la fig. 2 . Dans un tel système, il n'est cependant pas possible de créer des structures plus grandes que la période L du système (voir fig. 2 ). En fait, après un certain temps, les N particules se retrouvent toutes dans un même cluster qui n'évolue plus. Cet état d'équilibre n'est pas étudié dans cette thèse. On se restreint à l'évolution d'un système tant qu'elle n'est pas perturbée par la taille finie de la période L. Ceci implique que si la simulation est répétée avec une période L plus grande que L et un plus grand nombre 4 Cette limite est très souvent utilisée en mécanique statistique. De nombreux résultats sont valables seulement dans cette limite. vi viii dans l'univers montrent que l'étude de la formation des structures dans un système de particules -le sujet de cette thèse -n'a pas vraiment d'intérêt directs par rapport à la compréhension de l'histoire de l'univers. Il faudrait plutôt s'intéresser à l'évolution d'un fluide de matière noire dans le cadre de la relativité générale. C'est malheureusement un sujet très difficile sur lequel de très nombreux progrès restent à faire. On peut cependant montrer que pour comprendre la formation des structures non-linéaires dans l'univers, c'est-à-dire les structures qui sont plus importantes que des petites fluctuations de densité dans le fluide de matière noire, on peut travailler à des échelles suffisamment petites pour que les effets relativistes puissent être négligés. Ainsi, il n'est pas vraiment nécessaire de travailler dans le cadre de la relativité générale. Il suffit de considérer un fluide gravitationnel «classique» dans un espace en expansion. C'est ce que de nombreuses personnes étudient en cosmologie. Une grande partie de la recherche se base sur des simulations numériques. Le but de ces simulations est donc de reproduire l'évolution du fluide de matière noire. Pour cela, la technique est identique à celle utilisée dans cette thèse : on simule un volume cubique de matière noire avec des conditions aux bords périodiques. Mais l'analogie ne s'arrête pas là. Pour résoudre les équations qui décrivent le fluide de matière noire, on le discrétise en utilisant des «macro-particules». Ces particules sont traitées d'une manière identique à ce que l'on fait dans les simulations présentées dans cette thèse, c'est-à-dire comme des particules classiques obéissant à la loi de Newton F = ma (on introduit juste une petite modification pour tenir compte de l'expansion de l'univers). Mais ces particules ont typiquement la masse d'une galaxie, ce qui est beaucoup plus lourd qu'une particule de matière noire. 5 Suivant le modèle de matière noire considéré, cela peut être jusqu'à 10 70 fois plus lourd. L'interprétation de ces macro-particules se base sur l'hypothèse que, sous l'action de leur propre gravité, elles bougent comme si elles étaient entraînées par le fluide de matière noire. On décrit donc ces particules comme des «traceurs de masse». Ainsi, la densité de matière noire à une certaine position dans le volume simulé s'obtient en calculant la densité de ces macro-particules à cette même position. Pour que ces macro-particules se comportent comme un fluide, on utilise deux techniques. La première consiste à modifier la force gravitationnelle à petit échelle pour éviter des effets de diffusion lorsque deux particules se retrouvent très proches l'une de l'autre. 6 De tels effets seraient dus uniquement à la nature discrète des macro-particules et non pas à une dynamique de fluide. La deuxième technique est liée aux conditions initiales. D'une part, il faut qu'à des échelles plus grandes que la distance typique entre deux macroparticules les fluctuations de densité reproduisent les fluctuations de densité initiales du fluide de matière noire. D'autre part, si l'on considère une particule, il faut que la force due à ses plus proches voisines soit faible pour que la force dominante provienne des fluctuations de densité à grande échelle qui sont supposées correspondre à celles du fluide de matière noire. Pour créer une distribution qui satisfait à ces deux conditions, la méthode la plus utilisée est la suivante. Le nombre N de particules doit être égal au cube d'un nombre entier n : N = n 3 . On place ces N particules sur les points d'un réseau cubique qui couvre tout le volume simulé. 7 On applique ensuite un petit déplacement à chacune des particules. Par un choix adéquat des corrélations de ces déplacements, on tente de reproduire à grande échelle les fluctuations de la matière noire. En raison des symétries du réseau et de la petite amplitude de ces déplacements, les forces entre particules proches sont faibles. On ajoute encore des petites vitesses initiales corrélées aux déplacements pour que les particules se 5 On ne sait en fait toujours pas de quoi est faite la matière noire. Il existe plusieurs modèles théoriques qui prédisent des différents types de particule avec des masses différentes. 6 Sans cette modification, lorsque deux particules se croisent, leurs trajectoires sont fortement perturbées. 7 La taille typique du volume que l'on simule est de l'ordre de 100 Mpc. ix dirigent dès le début en direction des fluctuations à grande échelle. Avec ces techniques, on tente de résoudre le problème de la formation des structures à grande échelle dans l'univers, c'est-à-dire comment le fluide de matière noire a pu évoluer sous l'action de sa propre gravité et créer les structures que l'on observe dans les catalogues de galaxies. Une question que l'on peut se poser en réfléchissant à la méthode utilisée pour étudier ce problème est de savoir si l'on simule vraiment un fluide. Est-ce que les deux techniques que l'on vient de décrire sont suffisantes pour que les macro-particules décrivent correctement l'évolution d'un fluide ou est-ce que leur nature discrète engendre des effets qui ne seraient pas observés dans un fluide ? Pour répondre à ces questions, une manière de procéder est d'approfondir nos connaissances concernant la création des structures dans un ensemble de particules sans chercher à imiter l'évolution d'un fluide et étudier ensuite dans quelle limite l'évolution des particules reproduit celle d'un fluide. C'est en fait un des buts de la recherche effectuée dans le cadre de cette thèse. Ces explications peuvent laisser imaginer que la formation de structures dans le problème à N corps telle qu'on l'étudie dans cette thèse n'a qu'un intérêt «technique», celui de comprendre ce qu'il se passe dans les simulations en cosmologie. Mais il est important de rappeler que ce sujet reste un problème théorique fondamental. Même si l'on sait qu'un système infini de particules n'est pas un système réaliste, il est néanmoins très intéressant dans le cadre de la mécanique statistique puisqu'il concerne un système hors-équilibre avec une interaction à longue portée. D'une part, la mécanique statistique du hors-équilibre est un des sujets importants de la physique actuelle et d'autre part, comme on l'a vu dans l'introduction, les interactions à longue portée n'ont été, jusqu'à présent, que peu étudiées même dans les cas à l'équilibre. Plan Cette thèse commence par un chapitre introductif qui reprend, en anglais, une partie de ce résumé. Il contient aussi un rappel de ce qui est connu concernant le sujet de cette thèse, quelques mots sur l'originalité de cette thèse et sur les résultats obtenus ainsi qu'un plan. Dans la dernière partie de ce chapitre introductif, je donne la liste des articles, dont je suis le coauteur, écrits dans le cadre de cette thèse. Puisque je n'ai pas repris directement ces articles pour écrire cette thèse, j'explique ce qui m'a poussé à tout récrire. Le chapitre qui suit l'introduction concerne les systèmes gravitationnels à l'équilibre dans le cadre de la mécanique statistique. La plupart de ce qui est présenté peut se trouver dans la littérature. Le but est d'expliquer que ces systèmes peuvent être étudiés dans le cadre de la mécanique statistique "standard", malgré la longue portée de la force gravitationnelle. Quelques résultats importants concernant ces systèmes sont aussi donnés et notamment le théorème du viriel. Puisque ce théorème est réutilisé dans la suite, il est démontré en détail. Le reste de la thèse est partagé en deux parties. La première, «Preliminaries», introduit les connaissances nécessaires à l'étude de la formation des structures dans un système gravitationnel infinis ou périodiques. La plupart de la matière présentée est donc déjà connue. Certaines parties sont en fait adaptées au contexte de cette thèse. Le chapitre 3 explique la différence entre les systèmes gravitationnels finis et infinis. Des détails concernant le calcul de la force gravitationnelle dans ces deux types de système sont ensuite donnés. Le chapitre 4 introduit les approches théoriques pour étudier l'évolution d'un système gravitationnel ainsi que quelques aspects importants concernant les techniques numériques pour x 2. l'évolution de la fonction Γ(r, t) pour des petites valeurs de t peut être expliquée par l'interaction de chacune des particules avec ses dix-huit plus proches voisines en raison des symétries ; 3. une approche de renormalisation permet d'expliquer l'évolution non-linéaire de la fonction Γ(r, t) et donc de la taille typiques des structures à tout temps. Cette approche qui se base sur les interactions entre chacune des particules avec ses dix-huit plus proches voisines ; 4. comme dans les simulations de Poisson, l'évolution de Γ(r, t) est auto-similaire, c'est-à-dire que l'équation (1) est satisfaite. Finalement, dans les deux types de simulation, on observe que l'évolution non-linéaire de Γ(r, t) est similaire : pour un temps t donné, Γ(r, t) peut être approximée par la même loi de puissance (chapitre 9). 15 See for example [GNS95], p. 157. 16 As usual, see [GNS95], but p. 197. 17 Note that this is related to the so-called equipartition theorem. For the Hamiltonian (2.64), we have 157
doi:10.13097/archive-ouverte/unige:313 fatcat:3eyygexqobg7xcpo3akecplfjy