Mémoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques. (Suite du mémoire)

A.L. Crelle
1831 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
150. 3.1· jCrelltj mernoir* swr la thdorie des 31. Memoire sur la theorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultes analytiques. (Par l'editeur.) ( Suite du memoire No. 28. du cahier pre'cedent. ) 26, ll s'agit maintenant de la convergence de la serie (142.)« La recherche en est indispensable, car la serie, si eile etoit divergente, iie seroit d'aucune utilite. I. A la place de la serie (142.), si pour le moment on veut laisser de c to le cas α = 0, on peut mettre ia serie (144.)
more » ... tre ia serie (144.) qui, y etant suppose zero, donne la serie du binome, et qui, comme nous Tavons rernarque cidessus, fait fonction de la serie generale (142^) dans tous les cas, excepte le seul cas α = 0. Donc la recherche de la convergence de la serie generale se reduit d abord a celle de la convergence de la sorie ( 144. ) , le cas α = 0 etant excepte, IL Supposoiis reelles toutes les quantites qui entrent dans Texpression (144.). Dans ce cas le theoreme de la convergence ( §. 23. VI.) y sera applicable. III. Suivant ce theoreme la serie sera convergente si ses termes ne sont pas iufinis, s'ils vont en decroissant et si du premier terme de son reste J? w savoir du terme les valeurs qui correspondent a la plus grande et u la plus petite valeur que peut avoir la quantite A"+ l Fv 150. FX-= η*(α -ΐγ^ (140.) pour les valeurs differeiites de y depuis y jusqu'a y-\-k y sont zero toutes les deux pour n = oc. IV. Mais le facteur i/ y , puisqu'il est commun a tous les termes de la serie (144.) a droite et a gauche, et puisque par cette raison il n'influe pas sur la convergence de la serie, n'entre pas en calcul. Douc Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/30/15 4:55 PM des foncti&ns angulaires et des facuftes analytiyues.. $. 2&. form. ί5ί. -*-ί55* 315 la serie (144,), le facteiir u* otant mi» de C te, se reduit a eelle du biηόϊηβ proprement dite, savoir a Crelle's Joiima! ·?. M. VII. Bd. 4. Hfl. 4l Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/30/15 4:55 PM 318 $· £β· /orm. 163. -164. 31. Grelle, memoire sur la the'orie des puissances, Quatrieme eas, #<1 et >>0. XVII. On peut supposer dans ce cas #= rr-^ , de sorte que j? n+I = . +I ou est positif. Puisque (l -{-s) 71 " 1 " 1 est infini pour n = σο (XIII.) , le facteur x n + l de (155.) sera zero dans le cas actuel pour n = σο, XVffl. Soit en premier lieu &>-l, lautre facteur de (l 55.), comme nous Pavons vti ci-dessus (XL), est egalement zero pour n = 00, donc T" +l est zero si &> -l, et la serie (152.) est convergente dans ce cas. XIX. Dans le cas & = 0 on a toujours (l 4-^·)°= l· XX. Soit en second lieu k = -l ou <[ -1. Supposons k = -l -F, ε etant positif et au moins zero. Substituant ar=l + ^ et ^c = -l -£ dans (155.) on a Ici le facteur m T-? /TZ etant assez considerable, sera <]1 quels que "*Τί1> "*~ J71 Z soient «et z 9 puisque m z pourra toujours surpasser s. Les facteurs qui suivent ?^j j -seront encore plus petits et iront toujours en diminuant. Mais d'apres la remarque (XIII.) un produit d'un nombre infini de facteurs, chacun moindre que l'unite, est deja zero. Donc le produit (163.) ou les facteurs sont <ζ l et vont en diminuant le sera plus forte raison ? si n = oc. Donc T n+l sera egalement zero dans le cas actuel et la serie (152.) sera convergente. Elle sera donc toujours convergente dans le quatrieme cas. XXI. En nous resumant, nous pourrons enoncer comme suit ce que nous venons de trouver sur la convergence de la serie du bin me 164. Cette serie, χ etant reel, est convergente pour une valeur finie et reelle quelconque de Texposant k si #]> -let< + l· Sia? = -l eile est convergente si & >0> etsiar=:4"l> eile Test ei k^> -1. Si h = 0, on a (l + x) 1 = l pour une valeur quelconque de x. La serie est divergente pour toute autre valeur reelle de χ et k. Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/30/15 4:55 PM des f netions angulaires et des facultes anaJytiques. §. 27. 319 I. Comme la serie particuliere de Taylor (91.) est consacree essentiellement au cas ou dan» la serie generale de Taylor (78.) la quantite α est zoro, nous partirons de cette serie particuliere. En effet, 41* Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/30/15 4:55 PM 1 75. (*-^ -C . O . . . . TZ De la ou tire 4(ηΛ}^(ηΛγ+^L 2 £ · O ,2. 3. ..»τι J et si Γόη iait k = 0, 176 . is la serie (145.) eile meme donne et pour k == 0 177. ? Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/30/15 4:55 PM des fonctions angultiires et des facuiies anatytiques. §. 28. form. 178. -182. 323 donc on a en verfti des deux expressions (176. et 177.) On pourra donc mettre dans la sorie (174.), qui a lieu indubitable-( U ™\°-1 u°-l A , , ment, --~ -au lieu de m. -^-, et cela donne 179. Mais u etant>l et<2 et m arbitraire, la puissance u m peutavoir toute valeur reelle et positive qu'on voudra; donc en ^crivant simplement u au lieu de u m dans (179.), on aura
doi:10.1515/crll.1831.7.314 fatcat:wazmuh3dznbsbnpt3avxedkwoy