Geometry, Kinematics, and Rigid Body Mechanics in Cayley-Klein Geometries [article]

Charles Gunn, Technische Universität Berlin, Technische Universität Berlin, Ulrich Pinkall
2011
Die vorliegende Arbeit präsentiert eine moderne Formulierung der Mechanik starrer Körper in Räumen konstanter Krümmung. Die Arbeit besteht aus einem theoretischen und einem praktischen Teil. Zunächst werden theoretische Grundlagen aus projektiver Geometrie, äußerer Algebra und quadratischen Formen vorgestellt, um darauf aufbauend eine Klasse von Cayley-Klein Räumen zu beschreiben. Diese Klasse enthält die drei klassischen Räume konstanter Krümmung (euklidisch, elliptisch und hyperbolisch). Die
more » ... ntsprechenden n-dimensionalen Cayley-Klein Geometrien werden dann als reelle Clifford-Algebren realisiert. Diese Algebren werden aus dem Dual der projektivierten Grassmann Algebra konstruiert, wobei der ausgeartete euklidische Fall eine besondere Stellung einnimmt. Als nächstes, wird gezeigt, dass die Isometriegruppen dieser Räume konstanter Krümmung durch eigentliche Spiegelungen erzeugt sind. Diese Spiegelungen werden als Konjugationsoperatoren der Form in der Algebra, realisiert, was zur Definition von Pin (Spin) Gruppen als endliche überlagerungen der indirekten (direkten) Isometriegruppen führt. Für n = 3 wird die Sub-Algebra der Skalare und Pseudoskalare untersucht und die Definition der Achse eines Bivectors gegeben. Als Ergebnis erhält man einen Algorithmus zur Berechnung des Logarithmus eines Rotors (Element der Spin-Gruppe). Zusammenhänge zu bekannten Ergebnissen über Lie-Gruppen und Lie-Algebren werden erläutert. Ausgestattet mit diesen algebraischen Werkzeugen, werden anschließend Kinematik und Dynamik in diesen Räumen erforscht. Die zugehörige Lie-Klammer wird, wie üblich, als Kommutator (der Bivektoren) beschreiben. Das von einem Bivektor induzierte Vektorfeld wird eindeutig in eine null Polarität und die dem betrachteten Raum zugrundeliegende metrische Polarität zerlegt. Newtonsche Partikel werden auf eine metrisch-neutrale Art und Weise definiert und starre Körper werden als aus solchen Partikeln aufgebaut verstanden. Es wird gezeigtl, wie der Trägheitstensor eines starren Körpers eine separate Clifford Alg [...]
doi:10.14279/depositonce-3058 fatcat:w6lyzmw6zvc5hja3okryh5gete