Un problème de la théorie des nombres rattaché aux polynômes de Tschebycheff

Ervin Feldheim
1938 Bulletin of the American Mathematical Society  
By (1) and the lemma, ||7x n || ^X, (« = 1, 2, • • • ), so that ||y|| gX. It therefore follows from (2) that (3) lim||ZX -\x n \\ 2 = 0. Now Tx n ->y; hence by (3) , \x n ->y. Since XT^O and T is continuous, it follows that Tx n ->Ty/\, so that Ty=\y. Finally, by (2) and (3) , ||;y||=X\^0, and the theorem is therefore proved. (1) B n (x) = 2n+l( X 2 + 4)1/2 » = -1, 0, 1, 2, Si Ton donne à la variable x la valeur # = 2, ce polynôme prend, comme il est très facile de le vérifier, des valeurs
more » ... r, des valeurs entières, et la suite de ces nombres entiers possède des propriétés intéressantes que nous nous proposons de démontrer dans cette note. Nous déduirons d'abord quelques relations valables pour les polynômes B n (x) ; la propriété des nombres mentionnés tout à l'heure que nous voulons établir s'en résultera facilement. Nous écrivons, pour simplifier, B n au lieu de B n {x), de sorte que B n désigne toujours un polynôme et non pas un nombre; pour x = 2 nous introduirons une nouvelle notation. La relation principale qui nous servira est bien connue, et se démontre d'ailleurs facilement en partant de (1). C'est la relation ( 2) B n+m = B n B m + i?w-i^m-i, ri, m = 0, 1, 2, • • • . En tenant compte des valeurs initiales du polynôme B ni calculées au moyen de (1), £_i = 0, £o=l, Bi = x, B 2 =x 2 +1, on déduit de (2) une série de relations utiles. On a d'abord
doi:10.1090/s0002-9904-1938-06884-x fatcat:nfaq5cwbeveq7cturriphuvz6i