Ueber die Jacobi'sche Auflösung eines Systems von Normalgleichungen mit drei Unbekannten

Hugo Seetiger
1873 Astronomical Notes - Astronomische Nachrichten  
J~~o b i mit , welche die numerische Berechnung der Werthe dreier Unbnkannte nebst dereii Gewichte aus drei linearen Gleichungen mit vollendeter Symmetrie ermoglichen. Dadurch ist diese A nflosungsmetliode beachtenswerth geworden, wenn sie auch von dem practischen Rechner nur dann den Gauss'schen Vorschriften vorgezogen werden diirfte, sobald die Gewichte aller drei Unbekannten gesucht werden. D a sicli aber fur die genannten Formeln weder in dem Bes.yeZ'schen Aufsatze noch in dem
more » ... n dem Klinkerfiiesschen Werke iiber Cometen-und Planetenbahnen , wo dieselben erwahnt werden, ein Beweis vorfindet, so wird vielleicht ein solcher von den Lesern der A. N. iiicht ungiinstig aufgenommen werden. Bekaiintlich gelingt in rein theoretischer Beziehung die Auflijsung eines Systems beliebig vieler linearer Gleichungen init Hiilfe der Determinanten in volleiideter Syinmetrie. Es ist deshalb von Interesse, diese allgemeine Methode mit den ,Jacobz"schen Formeln in Verbindung zu bringen. Dies sol1 nun im Folgenden geleistet werden. Dns aufzulosende System linearer Gleichungeu sei Folgendes : ci00 x + ct01 y + u o 2 z = (lo3 .lo x -j-a,1 y + u,2 z = a13 1. . . . . ( I ) (62' x + a21 y f-~d = az3 c i x I = a x A Da dies Normalgleichungen sein sollen, so konnen wir allgeniein setzen. 25 u o u a l l c I i 2 und wird zur Abkiirzung gesetzt : Bexeichnet nun ferner D die Determinallte A -b D a = I ?d % so ist bekanntlich: no3 ago f ft13 a,O -+-9 3 a2" A . . . . .(2) x = Einem allgemeinen Determinantensatee zufolge ist ferner : Setzt man hierin den aus der Gleichung: n o ' a 0 1 -k a 1 1 + a 2 2 a 2 1 = 0 a 0 2 fur a 1 l folgenden Werth ein, so erhalt man: u2on = a 0 1 LYlZ .+ 2 (a22 a 2 1 + ao1a o l ) D = . . .(3) 0 1 oder Der Zahler des fur x aufgestellten Ausdruckes (1) wird dmch Siibstitution des aus der Gleichung : f i r ao0 resultirenden Wertlics gleich: c/o2 u y g o + a12 a 1 0 + u2'1 a20 --.o ( m y a 1 0 + uz2 a 2 9 + a13 a 1 0 + a 2 0 no3 u o 2 -oder Mit Hinzuziehung von (3) erhilt man demgemass, wenn man zilr Abkurziing setet: fur x den Werth: Diese Formel ist bereits cliejenige, welche durch die Einfiihrung derjenigen Hiilfsgrossen, welche Jacobi anwendet, nnmittelbar dargestellt wird. Wird namlich gesetzt: q = -t vf c c o l no2 Cl12 oder da kann man R auch so darstellen: a22 = c+ y2 R = 1 t_ ( L y " l + + y y !)
doi:10.1002/asna.18730821607 fatcat:aombtqfu6rfgjalws7egtrzxce