Strong stochastic stability for non-uniformly expanding maps

JOSÉ F. ALVES, HELDER VILARINHO
2012 Ergodic Theory and Dynamical Systems  
Agradecimentos Agradeço de um modo muito especial ao meu orientador, Professor José Ferreira Alves, por toda a atenção que me despendeu. Pelas excelentes conversas, sem as quais este trabalho não teria sido possível. Pela amizade, sempre presente. Pela confiança e pelas palavras de incentivo, verdadeirasâncoras naqueles momentos mais difíceis. Agradeçoà minha mulher, Catarina, por estar sempre ao meu lado. Pela sua compreensão e amizade. Agradeço aos meus pais eà minha irmã pelo seu infindável
more » ... poio. Agradeço a todas as pessoas que não tendo, imerecidamente, o seu nome aqui registado são vitalmente importantes na minha vida e, em particular, em todo o percurso que me conduziu aqui. São imensas. por todo o apoio. Agradeço tambémà Fundação para a Ciência e Tecnologia pelo financiamento ao longo deste trabalho (SFRH/BD/24353/2005). v Resumo Este trabalho aborda a estabilidade estocástica forte de uma ampla classe de sistemas dinâmicos discretos -as transformações não-uniformemente expansoras -quando a transformação determinísticaé sujeita a perturbações aleatórias. A estabilidade estocástica foi estabelecida em [AAr03] para uma classe geral de transformações nãouniformemente expansoras, no sentido da convergência da medida física para a medida de probabilidade SRB na topologia fraca * . Este resultadoé aqui melhorado para a estabilidade estocástica forte, i.e., prova-se a convergência da densidade da medida física para a densidade da medida SRB na norma L 1 , formulada num quadro mais geral de perturbações aleatórias. Como consequência, prova-se a estabilidade estocástica forte em dois exemplos de transformações não-uniformemente expansoras. O primeiro exemplo refere-se a uma classe de difeomorfismos locais introduzido em [ABV00] e o segundoàs aplicações de Viana, um exemplo em dimensões altas e com conjunto crítico introduzido em [V97]. vi Abstract In this work, we address the strong stochastic stability of a broad class of discretetime dynamical systems -non-uniformly expanding maps -when some random noise is introduced in the deterministic dynamics. A weaker form of stochastic stability was established in [AAr03] for a general class of non-uniformly expanding maps, in the sense of convergence of the physical measure to the SRB probability measure in the weak * topology. We improve this result obtaining strong stochastic stability, i.e., the convergence of the density of the physical measure to the density of the SRB probability measure in the L 1 -norm, in a more general framework of random perturbations. Consequently, we are able to obtain the strong stochastic stability for two examples of non-uniformly expanding maps. The first is related to an open class of local diffeomorphisms introduced in [ABV00] and the second to Viana maps -a higher dimensional example with critical set introduced in [V97]. vii
doi:10.1017/s0143385712000077 fatcat:y57njtwnwncpfmafzoureyzklm