Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas [thesis]

Emanoel Mateus dos Santos Freire
Agradecimentos Agradeço a Deus por toda ajuda e proteção que forneceu a mim e minha família, e por me guiar na vida possibilitando o encontro com tantas pessoas especiais. Além disso, agradeço por ter me presenteado com meus pais, Maria e Waldir, que são meus grandes orgulhos e a eles devo todas minhas conquistas. Agradeço a eles por todo amor, carinho, paciência, conforto e tantos outros sentimentos bons que me transmitem quando falo com eles, quando estou com eles. Sou muito grato à minha
more » ... o grato à minha orientadora Profa. Irene Ignazia Onnis que a todo momento se mostrou presente me ajudando e me estimulando para poder sempre me superar, pela paciência e dedicação que teve comigo, foi a melhor orientadora que eu poderia ter, nesta fase da minha vida acadêmica. Um exemplo de orientador e pesquisador. À minha namorada Renata, por sua compreensão, amor, carinho, risos, por estar ao meu lado e mesmo chegando de uma maneira repentina. Se eu pudesse fazer flores e estrelas eu deixaria a terra e o ceú tão coloridos e brilhantes quanto você. Aos meus amigos que tornaram minha vida mais leve e me ensinaram que a felicidade só é real quando compartilhada, em especial queria agradecer a grande vizinhança, Omar Chavez Cussy, terem sido minha segunda família, aos meus amigos de Maceió da graduação e dos verões, em especial quero citar Pedro Carvalho, Myrla Kedynna, Vitor Alves, Thiago Moraes, David Cabral e Diogo Santos por estarem ao meu lado desde o começo. A todos os colegas e amigos do Mestrado e da graduação pelo apoio na vida acadêmica, pelos risos e conversas em bares. Ao Prof. Daniel Smania Brandão, pelo apoio e conselhos durante o mestrado. Aos professores e funcionários do ICMC/USP. Enfim, ao CNPq pelo apoio financeiro. Resumo dos Santos Freire, E. M. Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas. 2017. 99p. Dissertação (Mestrado -Programa de Pós-Graduação em Matemática) -Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos -SP, 2017. O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima imersa no espaço Euclidiano em termos de dados holomorfos, tem sido extremamente útil seja para construir novos exemplos de superfícies mínimas, seja para o estudo das propriedades destas superfícies. Em [24], usando a equação harmônica, os autores determinam uma fórmula de representação para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer. Neste caso, a condição de holomorficidade dos dados de Weierstrass consiste em um sistema de equações diferenciais parciais com coeficientes não constantes. Logo, em geral, é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes. vi No espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional uma fórmula de representação tipo-Weierstrass foi provada por Kobayashi, para o caso das imersões mínimas de tipo espaço (ver [18]), e por Konderak no caso das imersões mínimas de tipo tempo (ver [20]). Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, em [22] os resultados de Kobayashi e Konderak foram generalizados para o caso de superfícies mínimas (de tipo espaço e de tipo tempo) imersas em 3-variedades Lorentzianas. Nesta dissertação estudaremos as fórmulas de representação de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas, que foram obtidas nos artigos [18], [20], [22] e [24]. Abstract dos Santos Freire, E. M. Weierstrass representation in Riemannian and Lorentzian manifolds. 2017. 99p. Dissertação (Mestrado -Programa de Pós-Graduação em Matemática) -Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos -SP, 2017. The classic Weierstrass Representation Theorem, which makes use of complex analysis to describe a minimal surface immersed in the Euclidean space in terms of holomorphic data, has been extremely useful either to construct new examples of minimal surfaces, rather than to study structural properties of these surfaces. In [24] , using the standard harmonic equation, the authors determine a representation formula for simply connected immersed minimal surfaces in a Riemannian manifold. In this case, the holomorphicity condition of the Weierstrass data is a system of partial differential equations with nonconstant coefficients. Therefore, in geral, it is very difficult to determine explicit solutions. However, for particular ambient spaces, these equations become simpler and the formula can be used to produce new examples of conformal minimal immersions. In the three-dimensional Lorentz-Minkowski space a Weierstrass-type representation formula was proved by Kobayashi for spacelike minimal im-viii mersions (see [18] ), and by Konderak for the case of timelike minimal immersions (see [20] ). In the demonstration of these formulas are used the tools of complex and paracomplex analysis, respectively. Recently, in [22] the results of Kobayashi and Konderak were generalized to the case of (spacelike and timelike) minimal surfaces immersed in 3-Lorentzian manifolds. In this dissertation, we will study the Weierstrass representation formula for immersed minimal surfaces in Riemannian and Lorentzian manifolds, that was obtained in the articles [18], [20], [22] and [24]. ÍNDICE são holomorfas em Ω e satisfazem a condição φ 2 1 + φ 2 2 + φ 2 3 = 0. Logo, fixado um ponto z 0 ∈ Ω, a aplicação e, então, f : Σ → M é harmônica se, e somente se, Φ é uma seção holomorfa de E. Agora, como uma aplicação de uma superfície em uma variedade Riemanniana é harmônica se, e somente se, esta é uma imersão mínima (ver, por exemplo, [13] ), concluímos que uma imersão conforme é mínima se, e somente se, Φ é uma seção holomorfa de E. Estamos, agora, nas condições de provar o seguinte resultado: Teorema 1.1.3 (Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas). Sejam (M n , g) uma variedade Riemanniana n-dimensional e {x 1 , . . . , x n } coordenadas locais em M . Sejam φ i , i = 1, . . . , n, funções a valores complexos definidas em um aberto simplesmente conexo Ω ⊂ C, que são soluções de (1.4) . Então, a aplicação f com funções coordenadas dadas por: onde z 0 ∈ Ω, está bem definida e define uma imersão mínima conforme se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: Como o limite depende de , segue-se que f não é L-diferenciável em z = 0. Proposição 3.2.9. Seja Ω ⊂ L um conjunto aberto simplesmente conexo e h : Ω → R uma função Demonstração. Como h é uma função a valores reais, temos que z z 0 hz dz = z z 0 h z dz. Portanto, h(z) − h(z 0 ) = z z 0 h z (z) dz + z z 0 hz dz = 2 Re z z 0 h z (z) dz. Funções elementares sobre os números de Lorentz Nesta seção definiremos algumas funções elementares cujo domínio está contido em L e que possuem valores paracomplexos. Ressaltamos que as funções da variável de Lorentz z = u + τ v serão escritas no "estilo sans serif" para distingui-las das respectivas funções complexas clássicas. Em [11] , os autores definem a função exponencial sobre os números de Lorentz como: exp(z) = e u (cosh v + τ sinh v), z ∈ L.
doi:10.11606/d.55.2018.tde-30102018-145548 fatcat:dqjkp64fpvbchbiwj3a5tyf3zy