Geometric representations of planar graphs [article]

Nieke Aerts, Technische Universität Berlin, Technische Universität Berlin, Stefan Felsner
2015
Klassisch werden Graphen durch Zeichnungen in der Ebene repräsentiert, das heißt die Knoten sind Punkte in der Ebene und die Kanten sind Linien, die adjazente Knoten verbinden. Eine Alternative ist, Knoten durch geometrische Objekte der Ebene wie Linien oder Kreise zu repräsentieren, welche sich genau dann schneiden, wenn die korrespondierenden Knoten adjazent sind. In diesem Fall sprechen wir von Schnitt-Repräsentationen. Wenn sich die geometrischen Objekte nur berühren, sprechen wir von
more » ... t-Repräsentationen. Eine Straight-Line Triangle Representation (SLTR) ist eine klassische Zeichnung, bei der die Linien Segmente sind und jede Facette ein Dreieck ist. In dieser Arbeit untersuchen wir, welche planaren Graphen ein SLTR besitzen. Wir geben dazu zwei Charakterisierungen an, wobei offen ist, ob sich die ergebenen Bedingungen effizient testen lassen. Mit Hilfe der ersten Charakterisierung können wir einen Satz von de Fraysseix und Ossona de Mendez auf eine neue Weise und einfacher beweisen. Auch geben wir einen einfacheren Beweis eines Theorems von Gonçalves, Lévêque and Pinlou. Die zweite Charakterisierung lässt sich mit einem 2-Güterflussproblem formulieren. Leider ist bekannt, dass das Lösen von 2-Güterflussproblemen NP-schwer ist. Im Positiven haben wir bewiesen, dass SLTRs mit Henneberg-Typ-II-Schritten erweitert werden können. Ein Graph mit n Knoten ist eine generische Schaltung, falls er 2n − 2 Kanten besitzt und jeder Subgraph mit m Knoten höchstens 2m−3 Kanten hat. Es ist bekannt, dass jede generische Schaltung mit Henneberg-Typ-II-Schritten konstruiert werden kann. Daraus folgt, dass jede planare generische Schaltung ein SLTR besitzt. Eng verwandt mit SLTRs sind Dreieck-Kontaktdarstellungen, dass heißt jeder Knoten wird durch ein Dreieck repräsentiert und zwei Dreiecke haben Seitenkontakt genau dann, wenn die Knoten verbunden sind. Dabei darf es keine Lücken in der Repräsentation geben. Wir geben eine Charakterisierung von zweifach zusammenhängenden außerplanaren Graphen, die eine solche Repräsentatio [...]
doi:10.14279/depositonce-4380 fatcat:koxmttjdabbhlaxlnrpse2epmu