Dans les travaux célèbres [1], [2], [3], E. Cartan a fait des recherches sur les pseudo-groupes, sans distinguer entre les deux cas, transitif ou intransitif. Tout d'abord, Cartan a abouti au théorème qu'il a considéré comme la base de la théorie des pseudo-groupes continus, c'est-à-dire le premier théorème fondamental: Tout pseudo-groupe de Lie admet un prolongement holoédrique opérant sur un certain nombrerde variablesxiet défini comme l'ensemble des transformations qui laissent invariants1°

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... n certain nombre de fonctions desxi;2°rformes de Pfaffwi(x, y, dx) linéairement indépendantes par rapport aux différentiellesdxiet dont les coefficients peuvent dépendre d'autres variables auxiliairesyj; enfin le prolongement considéré a ses équations de définition du premier ordre (voir [5]). Puis, il a introduit l'équation structurale de manière à caractériser le pseudo-groupe.