Unter den algebraischen Raumcurven haben bisher eigentlich nur diejenigen der dritten und vierten Ordnung eine eingehende Untersuchung gefunden. Diese Curven liegen, wie bekannt, immer auf mindestens einer quadratischen Regelfläche, und man kann sonach, um zu ihnen zu gelangen, von der Geometrie auf einer solchen Regelfläche ausgehen. Diese Geometrie basirt darauf, dass sich jeder Punkt der Fläche durch zwei Parameter bestimmen lässt, die einzeln die durch den Punkt gehenden Strahlen in den

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... en Regelscharen der Regelfläche festlegen. Jede algebraische Curve auf der Fläche wird dann durch eine rationale Gleichung zwischen diesen beiden Parametern dargestellt, und zwar ist es für die Curve wesentlich, bis zu welchem Grade in ihrer Gleichung jeder der beiden Parameter ansteigt. Die Summe dieser Grade giebt die Ordnung der Raumcurve an. So erhält man, wenn die Gleichung für beide Parameter quadratisch oder für den einen linear, für den anderen vom dritten Grade ist, eine Curve vierter Ordnung, und diese Raumcurven zerfallen demgemäss in zwei streng geschiedene Species. Gleiches wird dann auch von den Raumcurven fünfter Ordnung gelten, sofern sie auf einer quadratischen Regelfläche liegen. Die Curven der einen Gattung, deren Gleichung für einen Parameter linear ist, sind rational, die Curven der anderen Gattung hingegen, deren Gleichung den einen Parameter im zweiten und den ändern im dritten Grade enthält, sind hyperelliptische Curven, und scheinen deswegen ein besonderes Interesse zu verdienen. Will man nun näher auf ihre Eigenschaften eingehen, so kann man versuchen, die Gleichung, durch welche sie auf der quadratischen Regelfläche dargestellt werden, ebenso auszubeuten, wie man es mit der