Characterizations of groups generated by Kronecker sets

András Biró
2007 Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux  
Ces dernières années, depuis l'article [B-D-S], nous avonsétudié la possibilité de caratériser les sous-groupes dénombrables du tore T = R/Z par des sous-ensembles de Z. Nous considérons ici de nouveaux types de sous-groupes: soit K ⊆ T un ensemble de Kronecker (un ensemble compact sur lequel toute fonction continue f : K → T peutêtre approchée uniformément par des caractéres de T ) et G le groupe engendré par K. Nous prouvons (théorème 1) que G peutêtre caractérisé par un sousensemble de Z 2
more » ... usensemble de Z 2 (au lieu d'un sous-ensemble de Z). Si K est fini, le théorème 1 implique notre résultat antérieur de [B-S]. Nous montronségalement (théorème 2) que si K est dénombrable alors G ne peut pasêtre caractérisé par un sous-ensemble de Z (ou une suite d'entiers) au sens de [B-D-S]. Abstract. In recent years, starting with the paper [B-D-S], we have investigated the possibility of characterizing countable subgroups of the torus T = R/Z by subsets of Z. Here we consider new types of subgroups: let K ⊆ T be a Kronecker set (a compact set on which every continuous function f : K → T can be uniformly approximated by characters of T ), and G the group generated by K. We prove (Theorem 1) that G can be characterized by a subset of Z 2 (instead of a subset of Z). If K is finite, Theorem 1 implies our earlier result in [B-S]. We also prove (Theorem 2) that if K is uncountable, then G cannot be characterized by a subset of Z (or an integer sequence) in the sense of [B-D-S].
doi:10.5802/jtnb.603 fatcat:qansezhyona7dkdnadjcj6uuou