Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Schluß)

L. Öttinger
1848 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
296 iS. öttinger, Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 18. Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Von Hrn. Dr. Öttingcr, Prof. ord. an der Universität zu Freiburg im Br.) (Schlufs des Aufsatzes No. 16. und No.21. im 26ten, No. 17. und 22. im SOten, No. 8. im 34ten und No. 14. in diesem Bande.) §. 46. JLrie in dem vorigen Paragraph gefundenen Gleichungen geben das Mittel, die Frage zu entscheiden: Ist es vortheilhaft eine Summe S, die im günstigen Fall bei der
more » ... n Fall bei der Wahrscheinlichkeit w± = -gewonnen und im ungünstigen Fall bei der Wahrscheinlichkeit w 2 = -verloren werden kann, um deren Besitz oder Nicht-Besitz es sich also handelt, an ein einzelnes Unternehmen zu wagen, oder sie auf mehrere (w), unter den nämlichen Bedingungen des Gelingens und Mifslingens, zu vertheilen? S Der iedem einzelnen Unternehmen zuzuweisende Theil sei x =-. Die n auf einmal zu wagende Summe ist also S -nx. Um nun die Frage zu beantworten, ist nöthig, den Werth der subjectiven Hoffnung für beide Fälle zu ermitteln und unter sich zu vergleichen. Setzt man die Summe auf einmal, so hat man die Aussicht, entweder nx, oder Nichts zu erhalten. Der Werth der subjectiven Hoffnung in Beziehung auf den Besitz K ist demnach, wenn man die Gleichung (1.) §. 45. nimmt: i. jar=i Vertheilt man die Summe S=nx auf n Fälle, so können entweder alle, oder n -l, oder n -2, .... 3, 2, l günstig sein. Man kann also entweder n, oder n-l, oder n -2, ----, oder Imal die Summe x, oder Nichts erhalten. Die Wahrscheinlichkeiten, diese Gewinne zu erlangen, sind n w «#2 Hieraus ergiebt sich, auf dieselbe Weise wie in (1.), für den Werth der sub jectiven Hoffnung in den aufgezählten Fällen: Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/26/15 2:04 AM i8. Öttingcr, Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 297 oder, anders ausgedrückt: Der Werth der in den Klammern (Nr. 2.) eingeschlossenen Reihe ist offenbar gröfser als (w i -\-w 2 ) n " 1 =: l, folglich ist auch der Werth von (2.) gröfser als der von (1.)· Dasselbe hätte sich ergeben, wenn man die Ausdrücke (5. ujid 6. §. 45.) zu Grund gelegt hätte. Für diesen Fall ist der Werth der subjectiven Hoffnung in Beziehung auf den Besitz K: Ausdrücke (3. und 4.) in Reihen entwickelt, summirt und verglichen, so ergiebt sich auf gleiche Weise, dafs der Werth von (4.) gröfser als der von (3.) ist. Es ist einleuchtend, dafs der Werth von (2.) den von (1.) um so mehr übertrifft, je gröfser n ist. Dies rechtfertigt folgende Behauptung: 5. Der Werth der subjectiven Hoffnung ist gröfser, wenn eine zu wagende Summe auf mehrere Fälle vertheilt, als wenn sie auf einen einzigen gewagt wird; vorausgesetzt, dafs nach den obigen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit des Gelingens im einzelnen Falle unverändert dieselbe bleibt. 6. Der Werth der subjectiven Hoffnung ist um so gröfser, je gröfser die Anzahl der Fälle ist, auf welche die zu wagende Summe vertheilt wird. Es ist demnach rathsam, grofse Summen nicht auf einmal zu wagen, und seinen Besitz nicht auf einen Punct zu concentriren. Ein Speculant wird es vorzuziehen haben, seinen Besitz, oder einen grofsen Theil davon, nicht auf einmal aufs Spiel zu setzen, sondern nach einander, oder gleichzeitig, auf verschiedene Weise. Diese Resultate unterscheiden sich wieder wesentlich von denen in ( §.41.). Der Werth der objectiven Hoffnung kennt keinen Unterschied. Es läfst sich nun auch die Frage entscheiden, ob es rathsam sei, in Assecuranz-Gesellschaften zu treten, um [sich durch eine bestimmte Einlage gegen künftigen Schaden zu sichern. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/26/15 2:04 AM
doi:10.1515/crll.1848.36.296 fatcat:kamfihwqsnbcbkrmz4ruc5rcqm