Yksinkertaisista jaollisuustesteistä

Timo Lehtori, Savonlinnan Okl, Joensuun Yliopisto
unpublished
Lukion pitkässä matematiikassa jaollisuustestejä käsi-tellään ainakin jossakin laajuudessa logiikan ja luku-teorian syventävällä kurssilla. Solmussa jaollisuustes-tien kannalta keskeistä kongruenssin käsitettä on puo-lestaan tarkasteltu ainakin artikkeleissa [2] ja [5]. Tämä kirjoitus on jonkinlainen yhteenveto siitä matematii-kasta, jota yksinkertaisten jaollisuustestien konstruoi-miseksi tarvitaan. Jakoyhtälö ja kongruenssi Jakoalgoritmin tai oikeammin jakoyhtälön nimellä tun-nettu lause on
more » ... un-nettu lause on eräs keskeisimmistä lukuteorian työ-kaluista. Se voidaan ilmaista esimerkiksi seuraavassa muodossa. Lause 1. Olkoot a ja n kokonaislukuja siten, että n > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset kokonais-luvut q ja r siten, että a = qn + r ja 0 ≤ r < n. Todistus. Olkoon E = {r ∈ Z : r ≥ 0 ja r = a − qn jollakin q ∈ Z}. Tällöin E on epätyhjä, sillä jos a ≥ 0, on a ∈ E, ja jos a < 0, on a − an ∈ E. Näin ollen joukossa E on pienin alkio r 0 = a − q 0 n. Lisäksi r 0 < n, sillä muuten r 1 = a − (q 0 + 1)n = r 0 − n ≥ 0 ja siksi r 1 ∈ E, mikä olisi ristiriita. Oletetaan, että a = qn + r = q n + r , missä 0 ≤ r < n ja 0 ≤ r < n. Tällöin r − r = (q − q)n, joten r − r on jaollinen luvulla n. Koska 0 ≤ r < n ja 0 ≤ r < n, on −n < r − r < n. Näin ollen r − r = 0 eli r = r , jolloin myös q = q , koska n > 0. Usein sanotaan, että luku a on jaettava, n jakaja, q osa-määrä ja r jakojäännös. Jos luvuilla a ja b on yhteisen jakajan n suhteen samat jakojäännökset, tällöin luvut a ja b ovat kongruentit modulo n, ja tätä merkitään kirjoittamalla a ≡ b (mod n). Määritelmästä seuraa välittömästi, että luvut a ja b ovat kongruentit modulo n, jos ja vain jos a − b on jaollinen luvulla n.
fatcat:w25nonz6anamnl5fwvdxebda64