Lower bounds for ranks of Mumford-Tate groups

Martin Orr
2015 Bulletin de la Société Mathématique de France  
Let A be a complex abelian variety and G its Mumford-Tate group. Supposing that the simple abelian subvarieties of A are pairwise non-isogenous, we find a lower bound for the rank rk G of G, which is a little less than log 2 dim A. If we suppose that End A is commutative, then we show that rk G ≥ log 2 dim A + 2, and this latter bound is sharp. We also obtain the same results for the rank of the ℓ-adic monodromy group of an abelian variety defined over a number field. Résumé (Minoration des
more » ... (Minoration des rangs de groupes de Mumford-Tate). -Soit A une variété abélienne complexe et G son groupe de Mumford-Tate. En supposant que les sous variétés abéliennes simples de A sont deux à deux non-isogènes, on trouve une minoration du rang rk G de G, légèrement inférieure à log 2 dim A. Si on suppose que End A est commutatif, alors on montre que rk G ≥ log 2 dim A + 2, et cette borne-ci est optimale. On obtient les mêmes resultats pour le rang du groupe de monodromie ℓ-adique d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres.
doi:10.24033/bsmf.2684 fatcat:vfswbuukhzhbtoh6sc33jlokae