Funkcja Phragmena-Lindelófa niektórych parzystych iloczynów kanonicznych Wnioskowanie o szybkości wzrostu funkcji analitycznej na pod­ stawie znajomości jej przebiegu w ustalonym ciągu punktów jest mocnym środkiem badawczym. Przykładem tego jest twierdzenie Levinsona ([2] i [3], str. 107), z którego Boas [1] wydedukował twierdzenie Miku-sińskiego o momentach ograniczonych (Mikusiński [5]). Miarą szybkości wzrostu funkcji F(z) typu wykładniczego przy ustalonym argz jest funkcja

more »

... fa h (d) lim sup T-> 0 0 log \F(reie)\ r W dowodzie cytowanego twierdzenia Levinsona wykorzystuje się mię­ dzy innymi twierdzenie, że dla parzystych iloczynów kanonicznych CO (1) F( O, n->oo % n funkcja Phragmena-Lindelófa ma postać (3) h(Q)-7r-Z>|sin0| (O < в < 2тс). Dowód tego twierdzenia podany u Levinsona ([3], str. 92), a opierający się na pomysłach Pflugera ([6]; por. także Polya [7], str. 571) jest żmudny i nieprzejrzysty. Niniejszy artykuł zawiera prosty dowód wzoru (3) przy założeniach (1) i (2), oparty na elementarnych własnościach funkcji Phragmena-Lindelófa i metodach oszacowań z pracy [4] J. Mikusińskiego. Przed właściwym dowodem zrobimy dwie uwagi. I. Z parzystości funkcji F wynika, że (4) h{d)=h(6 + тс).