Булева сводимость

Сергей Серафимович Марченков, Sergey Seraphimovich Marchenkov
2003 Дискретная математика  
На множестве всех бесконечных двоичных последовательностей определяется опе ратор булевой сводимости -вариант оператора конечно-автоматной сводимости, ког да рассматриваются автоматы с несколькими входами и одним состоянием. Каждое множество Q булевых функций, содержащее селекторную функцию и замкнутое от носительно операции суперпозиции специального вида, определяет Q-сводимость и Q-степени -множества 2" эквивалентны х последовательностей. В работе исследу ются свойства частично упорядоченного
more » ... ично упорядоченного множества XQ всех Q-степеней: наличие максимальных, минимальных и наибольшего элементов, существование бесконечных цепей и антицепей, существование верхних граней. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо ваний, проект 03-01-00783. Введение В теории алгоритмов в вопросах классификации множеств важная роль отводится поня тиям алгоритмической сводимости и степени неразрешимости. Алгоритмическая своди мость и порождаемые ею степени вводятся по следующей схеме. Пусть N = {0, 1, 2,...}. Фиксируется некоторый класс О эффективных операторов, заданных на булеане <3b(N). Пусть X, Y -подмножества N. Говорят, что оператор О сво дит множество X к множеству У, если X = 0(Y). Множество X 0-сводимо к множеству Y (обозначение X <о У), если существует такой оператор О из класса О, который сводит XKY. Обычно класс О содержит тождественный оператор и замкнут относительно опера ции композиции. Поэтому отношение С-сводимости определяет на булеане ЩЫ) предпорядок. Множества X, Y называются О-эквивалентными, если X ^ Y и Y ^ X. Класс О-эквивалентных множеств называется С-степенью. Отношение ^о индуцирует на множестве i£e всех О-степеней частичный порядок. Для наиболее употребительных алгоритмических сводимостей (е-, Г-, tt-и т-сводимости) соответствующее частично упорядоченное множество i£c образует верхнюю полурешетку с нулем (см. [1]). В рамках приведенной выше общей схемы можно определять многие другие виды алгоритмической сводимости и соответствующие им степени. В 1974 г. Г. Рейна [2] пред ложил рассматривать в качестве операторов сводимости операторы конечно-автоматных преобразований. Не вдаваясь в детали определения конечно-автоматной сводимости, от метим, что она оказалась весьма своеобразной сводимостью, во многом отличающейся от известных алгоритмических сводимостей (см. [2][3][4][5][6]). Добавим еще, что при рассмотрении
doi:10.4213/dm204 fatcat:i7kiegudp5dbje4sgy3y5gb6y4