Triangulieren bis zum Gipfel. Eine Sommerakademie in Südtirol

Maximilian Beyer, Judith Recknagel, Emanuel Reinecke, Mathieu Rosière, Eva Stadler
2012 Mitteilungen der DMV  
Sitzen 20 Mathematiker in einem Vortrag über Wurzeln. Dass sich auch die bei ihnen sitzenden ca. 120 Studenten anderer Fachrichtungen nicht langweilen, liegt daran, dass es sich um ganz besondere Wurzeln handelt, nämlich um Baumwurzeln -in Abwasserrohren. Prof. Stützel, Direktor des Botanischen Gartens der Ruhr-Universität Bochum, stellt technische und rechtliche Probleme durch Baumwurzeleinwuchs in städtischen Versorgungsleitungen vor -wie das Foto zeigt, ein durchaus beeindruckendes Thema.
more » ... ruckendes Thema. Wir befinden uns auf einer Sommerakademie der Studienstiftung des deutschen Volkes im Südtiroler Olang, die den Stipendiaten die Möglichkeit bietet, in kleinen Gruppen zwei Wochen lang wissenschaftlich zu arbeiten. Dabei werden sie von Dozenten, meist Professoren, ehrenamtlich unterstützt und angeleitet. An den Abenden tragen diese Dozenten aus den eigenen Fachgebieten vor, an den Vormittagen werden die Studierenden in ihren Arbeitsgruppen selbst tätig. Während sich andere Arbeitsgruppen Themen wie "Sterben und Heilkunde", "Die Neurophilosophie von Farben und Klängen" oder auch "Vegetation und Vegetationsgeschichte als Gegenstück zu Wirtschaft, Wirtschaftsgeschichte und Migrationsströmen der Bevölkerung eines Raumes" widmen, beschäftigen wir uns in den beiden Wochen vom 4. bis 17. September 2011 unter der Leitung von Frank Lutz (TU Berlin/BTU Cottbus) und Ekkehard Köhler (BTU Cottbus) mit "Triangulierungen". Darunter sind unterschiedliche Konzepte aus vielen verschiedenen Teilbereichen der Mathematik wie der Nume-rik oder der Topologie zu verstehen. Einen guten Einstieg liefert die Graphentheorie. Triangulierte Graphen, auch chordale Graphen genannt, sind solche, in denen jeder Kreis (also jeder geschlossene Kantenweg) mit mindestens vier Kanten eine weitere Kante besitzt, die in ihm zwei nicht aufeinanderfolgende Knoten verbindet. Einen Graphen zu triangulieren bedeutet dann das Hinzufügen von Kanten solange, bis der entstehende Graph trianguliert ist. Deutlich anders sieht es dagegen bei der Triangulierung von Punktmengen aus. Dort geht es (z. B. in der Ebene) darum, die konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge überlappungsfrei mit Dreiecken auszupflastern. Letzeres war das Thema des ersten Vortrags. Dieser Graph ist zwar aus Dreiecken zusammengesetzt, aber nicht chordal. Man beachte den durch das Quadrat gebildeten Kreis ohne Sehne. Auf dem Weg zum Mittagessen fällt unser Blick auf den Fußboden der Musikschule, in der sich unser Seminarraum befindet. In Gedanken noch bei dem eben gehörten Vortrag über Ornamentgruppen und Parkettierungen, können wir an diesem Muster nicht vorbeigehen, ohne kurz innezuhalten. Aus dem Vortrag wissen wir, dass eine Symmetriegruppe G diskret heißt, wenn jede Translation in G ein Vielfaches einer kleinsten, vom Nullvektor verschiedenen Translation und jede Drehung in G Vielfaches einer von 0 • verschiedenen minimalen Drehung ist. Eine ebene kristallographische Gruppe (bzw. Ornamentgruppe) ist eine diskrete Symmetriegruppe der euklidischen Ebene mit zwei linear unabhängigen Translationen. Insgesamt gibt es 17 verschiedene Ornamentgruppen, und wir wollen es uns natürlich nicht nehmen lassen zu bestimmen, zu welcher obiges Muster gehört. Um von einem gegebenen Ornamentmuster die zugehörige Ornamentgruppe zu ermitteln, kann man den Algorithmus (siehe nächste Seite unten) verwenden. So lässt sich schnell feststellen, dass das Bodenmuster der Musikschule zur Ornamentgruppe p2 gehört. 96 PANORAMA
doi:10.1515/dmvm-2012-0043 fatcat:nd6oldsgr5hqbj5lwxm2g33ou4