The goal of this paper is to present some arguments leading to the following conjecture: a formally self-adjoint differential operator on a closed manifold is essentially self-adjoint if and only if the Hamiltonian flow of its symbol is complete. This holds for differential operators of degree two on the circle, for differential operators of degree one on any closed manifold and for Lorentzian Laplacians on generic Lorentzian surfaces. RÉSUMÉ. -Le but de cet article est de présenter des

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... s conduisant à la conjecture suivante : sur une variété compacte, un opérateur pseudo-différentiel formellement symétrique est essentiellement auto-adjoint si et seulement si le flot Hamiltonien du symbole est complet. Nous montrons cette conjecture pour les opérateurs différentiels de degré 2 dans le cas du cercle, pour les opérateurs différentiels de degré 1 et pour le laplacien lorentzien des surfaces Lorentziennes génériques. (*) Reçu le 20 avril 2020, accepté le 9 octobre 2020.