La Statistica parametrica studia famiglie parametrizzate di distribuzioni di pro-babilità. I parametri non hanno la funzione esclusiva di indicizzare le distribuzioni di probabilità. Infatti, anche gran parte della Inferenza statistica viene a dipendere dalla parametrizzazione prescelta. Questo è dovuto soprattutto al fatto che, nella stima dei parametri e nella successiva verifica di ipotesi, un ruolo fondamentale è svolto dal Calcolo differenziale. Il problema di come il Calcolo differenziale

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... dipende dalle coordinate è l'argomento centrale di quella branca della Geometria differenziale, chiamata Calcolo sulle varietà (Koboyashi e Nomizu, 1963; O'Neill, 1983). Una delle famiglie parametrizzate di distribuzioni di probabilità più studiata e applicata nella Statistica parametrica è certamente la famiglia esponenziale, per la cui definizione si utilizza un particolare sistema di coordinate. Il punto è che non si può escludere che una famiglia parametrizzata sia esponenziale solo perché non appare nella forma esponenziale, ma deve essere provato che tale famiglia non può essere parametrizzata nella forma esponenziale. Questo lavoro si propone innanzi tutto di dare una definizione intrinseca di famiglia esponenziale, cioè invariante per riparametrizzazioni. Per fare ciò cerchiamo il significato geometrico della famiglia esponenziale. Vedremo che per tale famiglia la geometria è quella affine, il che spiega il profondo significato dei parametri canonici nella parametrizzazione esponenziale. Essi sono coordinate affini cioè le coordinate più adatte a descrivere la geometria affine. Ma la Geometria differenziale ci permette di andare oltre. Infatti, sotto opportune condizioni di regolarità, i modelli statistici parametrici hanno una naturale struttura di Varietà Riemanniana con metrica data dalla metrica di informazione di Fisher, introdotta da Rao nel 1945 (come letteratura classica, si vedano: Fisher, 1925; Rao, 1945; Efron, 1975). In questo modo classici invarianti geometrici, come ad esempio la curvatura gaussiana, consentono di definire indici statistici e dedurre quindi proprietà statistiche difficilmente immaginabili altrimenti. Il presente lavoro, sulla base degli studi effettuati negli ultimi venti anni da parte di ricercatori come Amari, Barndorff-Nielsen, Kass, Lauritzen, ecc. (come riferimenti bibliografici, si vedano: