Le flot géodésique des quotients géométriquement finis des géométries de Hilbert

Mickaël Crampon, Ludovic Marquis
2014 Pacific Journal of Mathematics  
On étudie le flot géodésique des quotients géométriquement finis Ω/ Γ de géométries de Hilbert, en particulier ses propriétés de récurrence. On prouve, sous une hypothèse géométrique sur les cusps, que le flot géodésique est uniformément hyperbolique. Sans cette hypothèse, on construit un exemple où celui-ci a un exposant de Lyapunov nul. On fait le lien entre la dynamique du flot géodésique et certaines propriétés du convexe Ω et du groupe Γ. On en déduit des résultats de rigidité, qui
more » ... gidité, qui étendent ceux de Benoist et Guichard pour les quotients compacts. Enfin, on s'intéresse au lien entre entropie volumique et exposant critique ; on montre entre autres qu'ils coïncident lorsque le quotient est de volume fini. Abstract. -We study the geodesic flow of geometrically finite quotients Ω/ Γ of Hilbert geometries, in particular its recurrence properties. We prove that, under a geometrical assumption on the cusps, the geodesic flow is uniformly hyperbolic. Without this assumption, we provide an example of a quotient whose geodesic flow has a zero Lyapunov exponent. We make the link between the dynamics of the geodesic flow and some properties of the convex set Ω and the group Γ. As a consequence, we get various rigidity results which extend previous results of Benoist and Guichard for compact quotients. Finally, we study the link between volume entropy and critical exponent; for example, we show that they coincide provided the quotient has finite volume.
doi:10.2140/pjm.2014.268.313 fatcat:w2tebb6ppvgy7gpepfj62fx2iq