О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток

Андрей Анатольевич Илларионов, Andrei Anatol'evich Illarionov
2013 Математический сборник  
О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток Получены асимптотические формулы для средних значений количества граней фиксированного типа и вершин полиэдров Клейна трехмерных целочисленных решеток с заданным определителем. Библиография: 20 названий. Ключевые слова: решетка, многогранник Клейна, многомерная непрерывная дробь, относительный минимум. Обозначения #S -количество элементов конечного множества S; Conv X -выпуклая оболочка множества X; Ненулевой узел
more » ... а X; Ненулевой узел γ ∈ Γ называется относительным минимумом s-мерной решетки Γ, если не существует ненулевого узла γ ′ ∈ Γ, для которого Многогранниками (полиэдрами) Клейна решетки Γ называются множества вида K θ (Γ), где θ = (θ 1 , . . . , θ s ), θ i = ±1, которые определяются как выпуклая оболочка ненулевых узлов Γ, содержащихся в s-гранном угле x ∈ R s : x i θ i 0, i = 1, s . Будем придерживаться следующих обозначений: L s (X) -множество s-мерных решеток из X s , где X = R или X = Z; L s (X; N ) -множество решеток из L s (X) с определителем N ; M(Γ) -множество относительных минимумов решетки Γ; V (Γ) -множество вершин многогранников Клейна решетки Γ. Понятие относительного минимума появилось в конце 19 в. в работах Г. Ф. Вороного [1] и Г. Минковского [2], а многогранники Клейна -в работе Ф. Клейна [3] в связи с обобщением алгоритма непрерывных дробей на многомерный случай. Обе конструкции мотивированы теоремой Лагранжа о наилучших приближениях. Так, например, если α ∈ (0, 1/2), решетка Γ α порождена векторами (1, α), (0, 1), то M(Γ α ) = V (Γ α ) = ±(Q i , αQ i − P i ) : i = −1, 0, 1, 2, . . . , где Q −1 = 0, P −1 = 1 и P i /Q ii-я подходящая дробь к α (i 0). Отметим, что начиная с размерности s = 3 множества M(Γ) и V (Γ) существенно отличаются, хотя известно, что [4]
doi:10.4213/sm7826 fatcat:ijkk26tnnvcx3h6wca5vem4mqy