Fully commutative elements and lattice walks

Riccardo Biagioli, Frédéric Jouhet, Philippe Nadeau
unpublished
An element of a Coxeter group W is fully commutative if any two of its reduced decompositions are related by a series of transpositions of adjacent commuting generators. These elements were extensively studied by Stembridge in the finite case. In this work we deal with any finite or affine Coxeter group W , and we enumerate fully commutative elements according to their Coxeter length. Our approach consists in encoding these elements by various classes of lattice walks, and we then use recursive
more » ... then use recursive decompositions of these walks in order to obtain the desired generating functions. In type A, this reproves a theorem of Barcucci et al.; in type A, it simplifies and refines results of Hanusa and Jones. For all other finite and affine groups, our results are new. Résumé. UnélémentUn´Unélément d'un groupe de Coxeter W est dit totalement commutatif si deux de ses décompositions réduites peuvent toujoursêtretoujoursˆtoujoursêtre reliées par une suite de transpositions de générateurs adjacents qui commutent. CesélémentsCes´Ceséléments ontétéétudiésont´ontétéontété´ontétéétudiés en détail par Stembridge dans le cas o' u W est fini. Dans ce travail, nous considérons W fini ou affine, eténuméronset´eténumérons lesélémentsles´leséléments totalement commutatifs selon leur longueur de Coxeter. Notre approche consistè a encoder cesélémentsces´ceséléments par diverses classes de chemins du plan que nous décomposons récursivement pour obtenir les fonctions génératrices voulues. Pour le type A cela redonne un théorème de Barcucci et al.; pour A, cela simplifie et précise des résultats de Hanusa et Jones. Pour tous les autres groupes finis et affines, nos résultats sont nouveaux.
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