Maximum und Minimum des Bogens einer beliebigen Curve im Verhältnis zur zugehörigen Abscisse oder Ordinate

J. Steiner
1837 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
5, Steine r, 5, Maximum und Minimum desBogens einer beliebigen Curve im Verhältnifs zur zugehörigen Abscisse oder Ordinate. (Yom Herrn Professor /. Steiner zu Berlin.) , '(Auszug aus einer am 23. Januar d, J. in der hiesigen Akademie der Wissenschaften gehaltenen Vorlesung.) l· Die nachstehenden Resultate gründen sich auf den folgenden Fundamentalsatz· " Wenn die Ordinate y in irgend einem Puncte C einer beliebigen, algebraischen oder transcendenten Curve BGCH (Fig. 3. ) auf der zugehörigen
more » ... ente ECF nicht normal steht, sondern auf der concaven Seite der Curve einerseits einen stumpfen (y^) = und andererseits einen spitzen Dinkel (yt 2 ) = jS mit derselben bildet, so schneidet die im stumpfen Kinkel zunächst folgende Ordinate y^ von der Curve ein kleineres Element CG = bi ab, als von der Tangente CE^ti, dagegen ist bei der im spitzen Winkel zunächst folgenden Ordinate y 2 das Curven-Element CH=b 2 gröfser, als das der Tangente CF = t 2? also ist b^û nd b 2 >t 2 ."*) Die Richtigkeit de» einen Theils dieses Satzes, nämlich dafe der Bogen CH im spitzen Winkel gröfser als die Tangente CF 9 oder Ä 2^>^2) liegt klar vor Augen. Denn zieht man die Sehne CH> so ist sie, weil fy = ein stumpfer Winkel ist, die grofate Seite im Dreieck CHF ? also CH^>CF % und da offenbar Bogen Z> 2 > Sehne CH, so ist folglich um so mehr b^>CF oder £ 2 >f 2 « Was den ändern Theil des Satzes betrifft, so ist zunächst zu bemerken, dafe wenn die Curvp in der Nahe des Punctes C, nach G hio, keinen singulären Punct hat, dann die Tangente von C bis G ihre Rieh« tung in gleichem Sinne und zwar stetig ändert, so dafs der anfänglich stumpfe Winkel a, welchen die Tangente CE mit der Ordinate y bildet, *) Man Tergleiche unter ändern die kleine Schrift TOB fyette "lieber din Anwendung der Rechnung etc. Berlin, bei Manrer, 1810." wo ein Satz, der mit dem gegenwärtigen nahe übereinkommt, ausführlich erörtert und begründet wird.
doi:10.1515/crll.1837.17.83 fatcat:pg7yykz3vra6lj5c36zufxtwyu