### Why Jordan algebras are natural in statistics: quadratic regression implies Wishart distributions

G. Letac, J. Wesołowski
2011 Bulletin de la Société Mathématique de France
If the space Q of quadratic forms in R n is splitted in a direct sum Q 1 ⊕ · · · ⊕ Q k and if X and Y are independent random variables of R n , assume that there exist a real number a such that E(X|X + Y ) = a(X + Y ) and real distinct numbers b 1 , ..., b k such that E(q(X)|X + Y ) = b i q(X + Y ) for any q in Q i . We prove that this happens only when k = 2, when R n can be structured in a Euclidean Jordan algebra and when X and Y have Wishart distributions corresponding to this structure.
more » ... this structure. Résumé (Pourquoi les algèbres de Jordan sont-elles naturelles en statistiques? La régression quadratique implique la distribution de Wishart) Si l'espace Q des formes quadratiques sur R n est décomposé en une somme directe Q 1 ⊕· · ·⊕ Q k et si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes de R n , supposons qu'il existe un nombre réel a tel que E(X|X + Y ) = a(X + Y ) ainsi que des nombres réels distincts b 1 , ..., b k tels que E(q(X)|X + Y ) = b i q(X + Y ) pour tout q de Q i . Nous montrons que cela n'arrive que pour k = 2, que lorsque R n peut être structuré en algèbre de Jordan euclidienne et que lorsque X et Y suivent des lois de Wishart correspondant à cette structure. Texte reçu le