Dans ce travail, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un opérateur fermé dans un espace de Banach admette la propriété de l'extension unique. Pour cela nous introduisons la notions du coeur analytique d'un opérateur. Nous établissons plusieurs propriétés des opérateurs dont le coeur analytique est réduit à zéro (l'ensemble de ces opérateurs est noté Jlif0(H) où H est un Hubert), notamment nous montrons que si T 6 JH/0{H) alors 0 e c{T,M) pour tout sous-espace invariant M

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... {0} . En particulier a"(T) Ç {0}, a(T) est connexe et contient zéro et si T est decomposable alors T est quasinilpotent. Nous montrons aussi que l'ensemble (Jùtf (H)) des opérateurs T tels que T, T* e .%sé^(H) est inclus strictement dans l'adhérence des nilpotents (¿V). Et pour tout T e JV et e > 0, il existe Ks opérateur compact tel que ||ä:J < e et T + Ke e 3Ztf(H).