Topología de espacios métricos Managua, enero de 2009
Marta Stadler, Barrio Sarriena
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Portada: Tabla clásica de nudos Introducción La Topología estudia aquellas propiedades de los espacios que permanecen inalterables al someterlas a deformaciones continuas, es decir, a distorsiones que ni rompen ni pegan algo que no lo estaba previamente. Por ejemplo, el carácter circular de una circunferencia no es una propiedad topológica: se pueden pegar las extremidades de una cuerda para hacer una circunferencia, y sin cortar ni despegar, deformar esta figura en un cuadrado, una elipse,
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... Se dirá que la circunferencia, el cuadrado y la elipse son objetos topológicamente equivalentes: la cualidad de no tener extremidades permanece constante durante estas transformaciones,ésta si es una propiedad topológica. Una conocida broma afirma que las personas que se dedican al estudio de la topología no distinguen una rosquilla de una taza de café: en efecto, hemos pasado de la rosquilla a la taza sin realizar ni roturas ni cortes: ha sido una transformación topológica. La topología es pues matemática cualitativa, matemática sin números: trata de propiedades cualitativas intrínsecas de los espacios, que son independientes de su tamaño, posición y forma. Los espacios métricos son los primeros ejemplos de espacios topológicos, los que primero surgieron en el estudio cualitativo de espacios: generalizan las propiedades de los espacios euclídeos, donde sabemos medir la distancia entre dos puntos dados. En este curso de topología de espacios métricos, se trata de dar una introducción a la topología, a través de la teoría de espacios métricos. Proposición 1.4. El cuantificador existencial y el conector disyunción se pueden intercambiar en la escritura de un enunciado, así como el cuantificador universal y el conector conjunción: 1) (∀x, P(x)) y (∀y, Q(y)) es lo mismo que (∀x, y, P(x) ∧ Q(y)); 2) (∃x : P(x)) o (∃y : Q(y)) es equivalente a (∃x, y : P(x) ∨ Q(y)). Contraejemplo 1.2. En general, no se pueden intercambiar cuantificadores y conectores en la escritura de un enunciado: Nociones de Lógica Los métodos de demostración Hay muchos métodos de demostración, de los cuales citamos los más importantes a continuación, usando la notación de la definición 1.9: (i) Método de la hipótesis auxiliar: para probar que P =⇒ Q, se supone P cierta. Esta forma de razonamiento, la más directa, es también la más conocida. De manera práctica consiste en demostrar el teorema P =⇒ Q, donde P es la hipótesis y Q la conclusión o tesis, suponiendo que se verifica P (la hipótesis es cierta) y ayudándose de los axiomas y de los otros teoremas de la teoría demostrados anteriormente. (ii) Disjunción de los casos: para probar que P =⇒ Q, se descompone P en la forma P 1 ∨ · · · ∨ P n , y se prueba que para cada i ∈ {1, . . . , n}, es P i =⇒ Q. Es decir, se descompone el conjunto A de los elementos que cumplen P en una unión disjunta (definición 1.13) de subconjuntos A 1 , · · · , A n . Entonces, se prueba que para cada Ejemplo 1.1. Probar que si n ∈ N, entonces n(n + 1) es par. Demostración: Distinguimos dos posibilidades: si n es par, existe k ∈ N, tal que n = 2k, y entonces n(n + 1) = 2k(2k + 1). Si n es impar, existe k ∈ N, tal que n = 2k + 1, y entonces n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1), que es claramente par. (iii) Método de contraposición: para probar que P =⇒ Q, se demuestra el contrarecíproco no-Q =⇒ no-P. Es un primer método de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusión A ⊂ B es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (definición 1.13) verifican la inclusión B c ⊂ A c . Ejemplo 1.2. Probar que si n ∈ N es tal que n 2 es par, entonces n es par. Demostración: Si n ∈ N es impar, entonces n 2 es impar. (iv) Demostración por reducción al absurdo: para probar un enunciado P, se supone su negación no-P, y se busca una contradicción en la teoría en la que se trabaja. Como evidentemente se admite que esta teoría no admite contradicciones, la suposición no-P será falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. ¿A qué contradicción se debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la propia suposición no-P. 1.2. Teoría de conjuntos 1.3. Funciones y sus propiedades
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