Aufgaben

2014 Elemente der Mathematik  
Lösungen sind bis zum 10. August 2014 erbeten und können auf postalischem Weg an Dr. Stefan Grieder, Im eisernen Zeit 55, CH-8057 Zürich gesandt werden. Lösungen, die in einem gängigen Format abgefasst sind, können als Attachment auchüber die E-Mail-Adresse stefan.grieder@hispeed.ch eingereicht werden. Aufgabe 1323: a) Vier zufällige Punkte P 0 , P 1 , Q 0 , Q 1 liegen unabhängig voneinander gleichverteilt auf der Sphäre S 2 . Mit Wahrscheinlichkeit 1 besitzen P 0 und P 1 einen wohlbestimmten
more » ... en wohlbestimmten kürzesten Verbindungsbogen γ ⊂ S 2 und ebenso Q 0 , Q 1 einen kürzesten Verbindungsbogen γ . Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Bögen schneiden. b) Man behandle dasselbe Problem für zwei Punktepaare auf einem euklidischen Torus T := R 2 /Z 2 . Die kürzesten Verbindungen sind dann Strecken. Christian Blatter, Greifensee, CH Aufgabe 1324: In einem Dreieck sei S der Schwerpunkt und P der zum Inkreismittelpunkt isotom konjugierte Punkt. Man verlängere P S mit S Q = 2 · P S. Man zeige: a) Die Parallelen zu den Seiten des Dreiecks durch P schneiden aus diesen Seiten gleichlange Strecken l P . Man ermittle l P in Abhängigkeit der Seitenlängen des Dreiecks. b) Die Seiten des Dreiecks schneiden aus den Parallelen zu den Seiten durch Q gleichlange Strecken l Q = 2 · l P . Gheorghe Bercea, München, D Aufgabe 1325 (Die einfache dritte Aufgabe): Es sei A eine 3 × 3 schiefsymmetrische Matrix mit reellen Einträgen. Man bestimme den numerischen Wertevorrat wobei x * die konjugierte Transponierte des Vektors x bezeichnet. Dietrich Trenkler, Dortmund, D und Götz Trenkler, Dortmund, D
doi:10.4171/em/244 fatcat:u4v4k7aspjalxlvvgmrx2ocirq