Tightening the Chvátal and split operator via low-codimensional lineality spaces [article]

Wolfgang Keller, Volker Kaibel, Martin-Luther Universität, Universitäts- Und Landesbibliothek Sachsen-Anhalt
2019
Zusammenfassung Bemerkung: Für eine informellere Einführung in die zentralen Ideen der vorliegenden Arbeit, insbesondere der in Kapitel 4 und Kapitel 5 eingeführten, verweisen wir auf Kapitel 1. Auÿerdem möchten wir anmerken, dass Kapitel 16 eine deutlich ausführlichere englischsprachige Zusammenfassung dieser Arbeit bildet. Teil I Das zentrale Ziel von Teil I, welcher aus Kapitel 2 und Kapitel 3 besteht, ist es, grundlegende Denitionen einzuführen. Kapitel 2 kann man als das
more » ... Mathematische-Grundlagen-Kapitel betrachten, in dem wir zahlreiche Denitionen und Resultate aus diversen mathematischen Gebieten, die für die vorliegende Arbeit erforderlich sind, einführen. Kapitel 3 bildet eine Einführung in verbreitete Klassen von Schnittebenen, welche in der Literatur untersucht wurden. Für diese Zusammenfassung merken wir lediglich an (vgl. Denition 120), dass eine Schnittebene für P ⊆ R m × R n (m, n ∈ Z ≥0 ; hier stehe m für die Anzahl diskreter (ganzzahliger) Variablen und n für die Anzahl kontinuierlicher Variablen) eine lineare Ungleichung c ( · ) ≤ c 0 (c ∈ (R m × R n ) T und c 0 ∈ R) für P ∩ (Z m × R n ) ist. Teil II Teil II besteht aus Kapitel 4, 5 und 6. Das Leitthema dieses Teils sind L k -Schnitte und L k− 1 2 -Schnitte. Diese beiden Klassen von Schnittebenen bilden das zentrale Thema der vorliegenden Arbeit. Kapitel 4 bildet das zentrale Grundlagenkapitel über diese beiden Klassen von Schnittebenen und ihr Zusammenspiel. In ihm bauen wir das Theoriegebäude der L k -Schnitte und L k− 1 2 -Schnitte von Grunde auf. Die zentrale Idee hinter L k -Schnitten und L k− 1 2 -Schnitten ist es, das Problem des Findens von Schnittebenen zu relaxieren, indem wir statt linearen Ungleichungen für P ∩ (Z m × R n ) lineare Ungleichungen für P ∩ ((Z m × R n ) + V ) bzw. (P + V ) ∩ (Z m × R n ) , betrachten, wobei V ≤ R m × R n ein Vektorraum der Kodimension k ∈ {0, . . . , m + n} sei (der Fall k = 0 ist aus formellen Gründen zugelassen). Die erste Konstruktion bezeichnen wir als L k -Schnitte und die zweite als L k− 1 2 -Schnitte. In Abhängigkeit von der Art der Erzeuger von V (Rationalitätsbedingungen) und Existenz kontinuierlicher Variablen führt dies auf diverse Klassen von L k -Schnitten und L k− 1 2 -Schnitten, namentlich L k,Q -Schnitte, L k,R -Schnitte, L k− 1 2 ,Q×Q -Schnitte, L k− 1 2 ,Q×R -Schnitte, L k− 1 2 ,R×R -Schnitte, L k− 1 2 ,Q -Schnitte Betrachten wir die Gliederung von Kapitel 4: In Abschnitt 4.2 sind L k -Schnitte das zentrale Thema: In Abschnitt 4.2.1 denieren wir L k -Schnitte (Denition 161) und ihre Abschlüsse cl L k,Q ( · ) und cl L k,R ( · ) (Denition 165). Der Abschluss bezüglich einer Klasse von Schnittebenen für ein vorgegebenes P is schlicht der Schnitt von P mit sämtlichen von den Schnittebenen des entsprechenden Typs induzierten Halbräumen. In Abschnitt 4.2.2 geht es um die Frage, wie wir L k -Schnitte auch anders charakterisieren können. In Theorem 168 in Abschnitt 4.2.2.1 zeigen wir, dass wir uns sowohl für L k,Q -Schnitte als auch L k,R -Schnitte auf Vektorräume der Form V = V × R n beschränken können. In Abschnitt 4.2.2.2 betrachten wir, wie wir L k,Q -Schnitte auf duale Weise charakterisieren können. Dies ermöglicht es uns, die Theorie von L k,Q -Schnitten mit den in [DGMR17] betrachteten k-dimensional lattice cuts in Verbindung zu bringen (siehe Theorem 176). 3 In Abschnitt 4.3 denieren wir L k− 1 2 -Schnitte (Denition 179) und L k− 1 2 -Abschlüsse (Denition 182), z.B. cl L k− 1 2 ,Q×Q ( · ) und cl L k− 1 2 ,Q×R ( · ), analog wie wir es in Abschnitt 4.2.1 für L k -Schnitte durchführen. In Remark 156 formulieren wir zentrale Leitfragen, die wir in den restlichen Abschnitten von Kapitel 4 analysieren. Ein zentrales Ziel ist es, zu zeigen, dass wir für rationale Polyeder die beiden Hierarchien von Cutting-Plane-Operatoren in einer gemeinsamen Hierarchie zusammenfassen können, d.h. für rationale Polyeder P ⊆ R m (m ∈ Z ≥0 , obgleich nur der Fall m ∈ Z ≥1 von mathematischer Bedeutung ist) gilt ,Q×R (P ) = cl I (P ) . (0.2) cl I (P ) steht hier für die gemischt-ganzzahlige Hülle von P (siehe Denition 73). In Abschnitt 4.5 analysieren wir die Unterschiede zwischen den unterschiedlichen Typen von L k -Schnitten/ Abschlüssen und L k− 1 2 -Schnitten/Abschlüssen. In Abschnitt 4.6 beginnen wir mit dem Projekt, die Inklusionen in (0.1) und (0.2) zu zeigen. Ein wichtiges Resultat hierzu ist Theorem 197, in welchen wir zeigen, dass für ein beliebiges P ⊆ R m ×R n (m, n ∈ Z ≥0 ) jeder L k− 1 2 ,Q×R -Schnitt für P (k ∈ {0, . . . , m + n}) auch ein L k,Q -Schnitt für P bezügliches des selben Vektorraums Man beachte jedoch (vgl. Remark 198), dass die ähnlich aussehende Inklusion im Allgemeinen nicht gilt. Ein weiteres wichtiges Resultat ist Theorem 199, in dem wir zeigen, dass für Falls P ein rationales Polyeder ist (wie für (0.1) und (0.2) gefordert), gilt auch cl L (k+1)− 1 2 ,Q×Q (P ) ⊆ cl L k,Q (P ) . In Abschnitt 4.7 zeigen wir in Theorem 202, dass für beliebige P ⊆ R m × R n (m ∈ Z ≥0 und n ∈ Z ≥1 ) cl L m,Q (P ) = cl L (m+1)− 1 2 ,R×R (P ) = P ∩ cl I (P ) gilt (cl I (P ) ist die abgeschlossene gemischt-ganzzahlige Hülle von P ; vgl. Denition 73) und, falls P ein rationales Polyeder ist, sogar cl L (m+1)− 1 2 ,Q×Q (P ) = cl I (P ) erfüllt ist. Mit anderen Worten: Die cl L k− 1 2 ,Q×Q (P )-Hierarchie endet in diesem Fall bereits bei k = m + 1 und nicht erst bei k = m + n (siehe (0.2)). Zu Abschnitt 4.8: Wir erinnern uns, dass wir in Theorem 168 in Abschnitt 4.2.2.1 gezeigt haben, dass wir uns für L k -Schnitte auf Vektorräume der Form V = V × R n beschränken können. Eine solche Beschränkung ist trivialerweise für L k− 1 2 -Schnitte im Allgemeinen nicht möglich. Nichtsdestotrotz sind L k− 1 2 ,Q -Schnitte bezüglich solcher Vektorräume von mathematischer Bedeutung. In Denition 203 denieren wir essentielle L k− 1 2 ,Q -Schnitte , welche L k− 1 2 ,Q×Q -Schnitte/L k− 1 2 ,Q×R -Schnitte bezüglich Vektorräumen V von derartiger Struktur sind. In Theorem 208 werden wir die Bedeutung von essentiellen L k− 1 2 ,Q -Schnitten sehen: Dort zeigen wir, dass die einzigen L k− 1 2 ,Q×R -Schnitte (dies inkludiert L k− 1 2 ,Q×Q -Schnitte), welche nicht bereits L k−1,Q -Schnitte sind, essentielle L k− 1 2 ,Q -Schnitte sind. In diesem Sinne kann man salopp sagen, dass essentielle L k− 1 2 ,Q -Schnitte die interessanten L k− 1 2 ,Q×R -Schnitte sind, da diese die einzigen L k− 1 2 ,Q×R -Schnitte sind, welche möglicherweise mehr Ausdruckskraft besitzen als L k−1,Q -Schnitte. In Theorem 211 nutzen wir 4 dieses Strukturresultat (Theorem 208), um unter anderem die Äquivalenz des L k− 1 2 ,Q×Q -Abschlusses und des L k− 1 2 ,Q×R -Abschlusses von rationalen Polyedern zu zeigen. In Abschnitt 4.9 untersuchen wir, was man über L k -Abschlüsse und L k− 1 2 -Abschlüsse von P aussagen kann, wenn P entweder einen nichttrivialen Linealitätsraum besitzt oder in einem nichttrivialen rationalen anen Unterraum enthalten ist. Bis hier ist es keineswegs oensichtlich, wie wir L k -Schnitte und L k− 1 2 -Schnitte überhaupt konkret berechnen können. In der Tat werden wir in Abschnitt 5.1 sehen, dass ein naiver Ansatz zum Finden von L k− 1 2 ,Q -Schnitten in der Praxis leicht zu Komplexitätsproblemen führen kann. Daher ist man daran interessiert, alternative Charakterisierungen für L k,Q -Schnitte/Abschluss, L k− 1 2 ,Q×Q -Schnitte/Abschluss und essentielle(n) L k− 1 2 ,Q -Schnitte/Abschluss zu nden. Es gibt zwei natürliche Ansätze, um dieses Problem anzugehen: • Zeigen von alternativen Charakterisierungen, welche für allgemeine k funktionieren. Dies ist Inhalt von Kapitel 5. • Zeigen von alternativen Charakterisierungen, welche für ein bestimmtes k (welches typischerweise klein ist) spezisch sind. Dies ist das Vorgehen in Teil III für L 1− 1 2 ,Q×Q -Schnitte (siehe Kapitel 8, insbesondere Abschnitt 8.1) und L 1,Q -Schnitte (siehe Kapitel 9, insbesondere Abschnitt 9.1.1) und in Teil IV (insbesondere Kapitel 11) für L 2,Q -Schnitte (Abschnitt 11.1) und essentielle L 2− 1 2 ,Q -Schnitte (Abschnitt 11.2). Wir haben es soeben erwähnt: In Kapitel 5 zeigen wir alternative Charakterisierungen für L k,Q -Schnitte/ Abschluss und essentielle(n) L k− 1 2 ,Q -Schnitte/Abschluss für ein allgemeines k. Hierzu betrachten wir zwei Klassen von Charakterisierungen: • Zum einen betrachten wir Charakterisierungen mittels gitterpunktfreien Körpern: In Abschnitt 5.2 charakterisieren wir L k,Q -Schnitte mittels gitterpunktfreien Körpern. Das nale Resultat hierzu bendet sich in Theorem 240. In Abschnitt 5.3 führen wir eine Charakterisierung von essentiellen L k− 1 2 ,Q -Schnitten für rationale Polyeder mittels gitterpunktfreien Körpern durch. Das nale Resultat bendet sich in Theorem 246. • Zum andereren analysieren wir Charakterisierungen mittels t-Branch-Split-Cuts (siehe Denition 143). Dies ist das zentrale Thema von Abschnitt 5.4: In Theorem 259 zeigen wir die Äquivalenz des L k,Q -Abschlusses und des k, h (k)-Branch-Split-Closures (siehe Denition 252). Die Bedeutung von h (k) wird in Remark/Denition 248 erklärt. In Theorem 261 zeigen wir die Äquivalenz des essentiellen L k− 1 2 ,Q -Abschlusses und des essentiellen k, h (k)-Branch-Split-Closures (siehe Denition 253). In Theorem 263 fügen wir diese beiden Charakterisierungen zusammen und charakterisieren den L k− 1 2 ,Q×Q -Abschluss bzw. L k− 1 2 ,Q×R -Abschluss eines rationalen Polyeders durch den Schnitt seines essentiellen k, h (k)-Branch-Split-Closures und seines k − 1, h (k − 1)-Branch-Split-Closures. Die Charakterisierungvon L k,Q -Schnitten mittels k, t-Branch-Split-Cuts nutzen wir in Abschnitt 5.4.5, um zu zeigen, dass der L k,Q -Abschluss eines rationalen Polyeders wieder ein rationales Polyeder bildet ( ein Resultat, welches unabhängig in [DGMR17, Theorem 2] gezeigt wurde). In Kapitel 6 geben wir eine Übersicht über diverse Resultate bezüglich der Ausdruckskraft unterschiedlicher Klassen von Schnittebenen und deren Operatoren. Diese Resultate sind in erster Linie der Literatur entnommen. Kapitel 6 ist in drei Abschnitte aufgeteilt: • In Abschnitt 6.1 analysieren wir die Frage, welche Klassen von Schnittebenen bzw. Schnittebenen-Operatoren andere dominieren oder nicht dominieren. • Abschnitt 6.2 beschäftigt sich mit der Frage, ob es für eine vorgegebene Klasse von Schnittebenen immer möglich ist, den zugeordneten Operator cl ( · ) ( · ) ggf. iterativ auf ein P (typischerweise ein rationales Polyeder) anzuwenden und nach endlich vielen Schritten cl I (P ) zu erreichen. Falls dies nicht möglich ist: Konvergiert dann wenigstens die Folge 5 ( Konvergenz sei hierbei im Sinne von Denition 308 verstanden) gegen cl I (P )? Um diese Frage systematisch zu untersuchen, formulieren wir am Anfang von Abschnitt 6.2 vier Leitfragen zu diesem Thema, welche wir für diverse Klassen von Schnittebenen-Operatoren betrachten. • In Abschnitt 6.3 betrachten wir für einige Klassen von Schnittebenen die Frage, ob für ein vorgegebenes P und einen vorgegebenen Schnittebenen-Operator cl ( · ) ( · ) die Menge cl ( · ) (P ) ein (rationales) Polyeder bildet. Hierbei steht natürlich der Fall, dass bereits P ein rationales Polyeder ist, im Zentrum. Teil III In Teil III, welcher aus den Kapiteln 7, 8 und 9 besteht, sind die zentralen Themen ganzzahlige Polyeder, In Kapitel 7 ist das zentrale Thema ganzzahlige Polyeder . Wir beginnen dieses Kapitel mit Abschnitt 7.1, in welchem wir Ganzzahligkeit (Theorem 345) und Gemischt-Ganzzahligkeit (Theorem 347) von Polyedern mittels Optimierungsproblemen charakterisieren. Wir wollen hierzu anmerken, dass eine solche Charakterisierung von Gemischt-Ganzzahligkeit nach unserem Wissen in der Literatur bislang unbekannt war. Eine wichtige Rolle zur Beschreibung von ganzzahligen Polyedern besitzen Ungleichungssysteme TDI-Systeme sind eine aus der Literatur wohlbekannte Klasse von Systemen mit dieser Eigenschaft, doch in diesem Kapitel führen wir drei weitere Klassen von Systemen mit dieser Eigenschaft ein: TDZ + {0, 1}-Systeme, TD(I ∩ Z) + {0, 1}-Systeme und TDZ + I-Systeme. Kapitel 7 beschäftigt sich zentral mit der Untersuchung dieser Klassen von Systemen. So ist beispielsweise in der Literatur wohlbekannt, dass es einen engen Zusammenhang zwischen TDI-Systemen und Hilbertbasen gibt. Um diesen Zusammenhang auf die anderen Klassen von Systeme zu verallgemeinern, führen wir von uns so genannte icone-Systeme, Z + icone-Systeme, Z + {0, 1}-Systeme und (icone ∩Z) + {0, 1}-Systeme ein, welche in engem Zusammenhang zu TDI-Systemen, TDZ + I-Systemen, TDZ + {0, 1}-Systemen und TD(I ∩ Z) + {0, 1}-Systemen stehen. In Abschnitt 7.6 analysieren wir, wie sich diese verschiedenen Klassen von Systemen in der Gröÿe unterscheiden können. Kapitel 8 besteht aus zwei recht unabhängigen Teilen, deren Hauptgemeinsamkeit darin besteht, dass es in beiden Teilen um den L 1− 1 2 ,Q×Q -Abschluss bzw. L 1− 1 2 ,Q×R -Abschluss geht: • In Abschnitt 8.1 untersuchen wir den Zusammenhang zwischen (projizierten) Chvátal-Gomory-Schnitten (vgl. Denition 122), dualen (projizierten) Chvátal-Gomory-Schnitten (vgl. Denition 382), starken (projizierten) Chvátal-Gomory-Schnitten (vgl. Denition 384), L 1− 1 2 ,Q×Q -Schnitten und L 1− 1 2 ,Q×R - Schnitten. Eine Übersicht über die Resultate wird in Abschnitt 8.1.2.4 gegeben. Bezüglich der Situation für Polyeder betrachte man insbesondere Theorem 391. • In Abschnitt 8.2 beschäftigen wir uns mit der Frage, wie man den Chvátal-Gomory-Abschluss eines Polyeders mit rationalen Seitennormalen berechnen kann. Hierzu nutzen wir die Frameworks der TDZ+I-Systeme und Z + icone-Systeme aus Kapitel 7: In Theorem 398 in Abschnitt 8.2.3 zeigen wir, wie wir TDZ + I-Systeme mit ganzzahliger linker Seite nutzen können, um den Chvátal-Gomory-Abschluss eines Polyeders P ⊆ R m (m ∈ Z ≥0 ) mit rationalen Seitennormalen darzustellen. Wir merken an, dass ein solches Resultat für TDI-Systeme in der Literatur wohlbekannt ist. Somit beschäftigen wir uns im Rest von Abschnitt 8.2.3 mit der Frage, ob TDZ + I-Systeme zu diesem Zweck kleiner als TDI-Systeme sein können und ob hier weiteres Potential für Verbesserungen existiert. In Abschnitt 8.2.4 reduzieren wir das Problem, den Chvátal-Gomory-Abschluss eines Polyeders mit rationalen Seitennormalen zu berechnen, auf den Spezialfall, dass die Zeilen von A G −b einen LP-Face-Cone (vgl. Denition 356) bilden. Für solche Polyeder können wir den Chvátal-Gomory-Abschluss mittels Z+icone-Systemen charakterisieren. Dieser Ansatz hat gegenüber dem mittels TDZ + I-Systemen den Vorteil, dass er auch im gemischt-ganzzahligen Fall funktioniert und auf den Split-Closure/MIR-Closure verallgemeinert werden kann; letzteres bildet das Thema von Abschnitt 9.2 in Kapitel 9. 6 Auch Kapitel 9 besteht aus zwei voneinander nahezu unabhängigen Teilen, deren Hauptgemeinsamkeit darin liegt, dass in beiden der L 1,Q -Abschluss betrachtet wird: • In Abschnitt 9.1 analysieren wir den Zusammenhang zwischen L 1,Q -Schnitten, Split-Cuts (vgl. Denition 126) und MIR-Cuts (vgl. Denition 410). • In Abschnitt 9.2 zeigen wir, dass der Split-Closure eines mit rationalen Seitennormalen wieder ein Polyeder ist (ein rationales Polyeder, falls P ein rationales Polyeder ist). Wir merken an, dass für das schwächere Resultat, dass der Split-Closure eines rationalen Polyeders wieder ein rationales Polyeder bildet, zahlreiche Beweise in der Literatur bekannt sind (vgl. Abschnitt 6.3). Unser Beweis benutzt das von uns entwickelte Framework von Z + icone-Systemen als zentralen Bestandteil. Die Beweisführung spiegelt hierbei sehr eng die Beweisführung unseres zweiten Beweises der Polyedrizität des Chvátal-Gomory-Abschlusses wieder. Bezüglich weiterer Vorteile unseres Ansatzes verweisen wir auf den Anfang von Kapitel 9. Teil IV In Teil IV ist das Ziel, eine alternative Charakterisierung von L 2,Q -Schnitten/Abschluss und L 2− 1 2 ,Q×Q / L 2− 1 2 ,Q×R -Schnitten/Abschluss herzuleiten (bei letzteren liegt der Fokus auf essentiellen L 2− 1 2 ,Q -Schnitten/ Abschluss). Um diese Resultate herzuleiten, beweisen wir in Kapitel 10 zwei Theoreme (Theorem 431 und Theorem 434) über die Einbettung volldimensionaler gitterpunktfreier Körper im R 2 in Disjunktionen. Wir merken an, dass eine schwächere Version von Theorem 431 (Theorem 432) bereits in [DDG12] gezeigt wurde. In Kapitel 11 nutzen wir diese Einbettungsresultate, um L 2,Q -Schnitte/Abschluss (in Abschnitt 11.1) und essentielle L 2− 1 2 ,Q -Schnitte/Abschluss (in Abschnitt 11.2) mittels Disjunktionen zu charakterisieren. Die nalen Resultate sind in Theorem 462 (L 2,Q -Abschluss), Theorem 474 (essentieller L 2− 1 2 ,Q -Abschluss) und Theorem 475 (L 2− 1 2 ,Q×Q -Abschluss und L 2− 1 2 ,Q×R -Abschluss) zu nden. Teil V In Teil V (Kapitel 12 und Kapitel 13) zeigen wir weitergehende Resultate für L k -Schnitte und L k− 1 2 -Schnitte: In Kapitel 12 betrachten wir die Frage (vgl. Problem/Denition 476), wie viele Ungleichungen in der Ungleichungsbeschreibung eines Polyeders P wir gleichzeitig betrachten müssen, um alle L k,Q -Schnitte oder L k− 1 2 ,Q×Q -Schnitte, die erforderlich sind, um den L k,Q -Abschluss oder L k− 1 2 ,Q×Q -Abschluss von P zu beschreiben, als L k,Q -Schnitt oder L k− 1 2 ,Q×Q -Schnitt eines solchen Teilsystems herleiten zu können. Eine Zusammenfassung der wichtigsten oberen und unteren Schranken, die wir in diesem Kapitel beweisen, bendet sich in Abschnitt 12.6. Abschnitt 12.4.3 liefert einen Ausblick darauf, wie diese Resultate auf den essentiellen L k− 1 2 ,Q -Abschluss (Theorem 496) und L k− 1 2 ,Q×R -Abschluss (Theorem 497) erweitert werden können. In Kapitel 13 betrachten wir Schranken für den L k,Q -Rang und L k− 1 2 ,Q×Q -Rang (insbesondere ersteren) eines Polyeders P , wenn die ganzzahligen Variablen 0/1-wertig sind. Der L k,Q -Rang bzw. L k− 1 2 ,Q×Q -Rang sagt aus, wie oft wir den entsprechenden Cutting-Plane-Operator iterativ auf P anwenden müssen, um die gemischt-ganzzahlige Hülle von P (cl I (P )) zu erhalten. In Abschnitt 13.1 betrachten wir den L k,Q -Rang. Das erste zentrale Resultat ist Theorem 515, in dem wir die Schranke rank L k,Q (P ) ≤ m k zeigen (m, n ∈ Z ≥0 , k ∈ {1, . . . , m} und P ⊆ [0, 1] m × R n ). Ist diese Schranke bestmöglich? Diese Frage beantworten wir in Theorem 526 (das zweite zentrale Resultat von Abschnitt 13.1) positiv, indem wir zeigen, dass für jedes m ∈ Z ≥1 ein rationales Polytop P ⊆ [0, 1] m existiert, so dass für alle k ∈ {1, . . . , m} rank L k,Q (P ) ≥ m k 7 erfüllt ist. In Abschnitt 13.2 leiten wir hieraus Schranken für den L k− 1 2 ,Q×Q -Rang eines rationalen Polyeders ab, was allerdings keine Herleitung einer oberen Schranke für den L 1− 1 2 ,Q×Q -Rang erlaubt. Glücklicherweise ist das eng verwandte Problem des Findens von Schranken für den Chvátal-Gomory-Rangs eines Polyeders P ⊆ [0, 1] m (m ∈ Z ≥0 ) ein in der Literatur gut untersuchtes Problem. Daher geben wir in Abschnitt 13.2.1 eine Übersicht über wichtige Literaturresultate bezüglich oberer Schranken und in Abschnitt 13.2.2 bezüglich unterer Schranken für den Chvátal-Gomory-Rang. Teil VI In Teil VI, welcher aus Kapitel 14 und Kapitel 15 besteht, geht es um folgende Thematik (vgl. Abschnitt 14.1): Können die Inklusionen in (0.1) und (0.2) auch strikt sein? Hierzu formulieren wir folgende Fragen: • Existiert für jedes m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 und k ∈ {1, . . . , m} ein rationales Polyeder P ⊆ R m × R n , für das gilt: ,Q×Q (P ) cl L k−1,Q (P )? • Existiert für jedes m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 und k ∈ {1, . . . , m − 1} falls n = 0, {1, . . . , m} falls n ≥ 1 ein rationales Polyeder P ⊆ R m × R n , für das gilt: cl L k,Q (P ) cl L k− 1 2 ,Q×Q (P )? Wir betrachten folgende noch stärkere Fragen: • Existiert für jedes m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 und k ∈ {1, . . . , m} ein rationales Polyeder P ⊆ R m × R n , für das gilt: , . . . , m} falls n ≥ 1 ein rationales Polyeder P ⊆ R m × R n , für das gilt: cl L k,Q (P ) cl L k− 1 2 ,R×R (P )? (0.3) In Kapitel 14 beantworten wir alle diese Fragen positiv mit Ausnahme des am Ende von Kapitel 14 noch oen bleibenden Falles n ≥ 1 und k = m in (0.3). Die zentrale Übersicht hierzu bendet sich in Abschnitt 14.9. Die zentralen Theoreme zu diesem Zweck sind Theorem 543 und Theorem 544. Man beachte, dass wir in Theorem 543 allgemeiner den (m − 1)-Branch-Split-Closure und den L m−1,Q -Abschluss gegen den (m − 2)-Branch-Split-Closure, den L m−2,R -Abschluss und den L (m−1)− 1 2 ,R -Abschluss abschätzen. Die am Ende von Kapitel 14 oene gebliebene Frage nach einer strikten Inklusion in (0.3) im Fall n ≥ 1 und k = m ist zentrales Thema von Kapitel 15. Hier zeigen wir (Theorem 578) die noch stärkere Aussage, dass für alle m, n ∈ Z ≥1 und k ∈ {1, . . . , m} ein a rationales Polyeder P ⊆ R m × R n existiert, so dass für alle ∈ Z ≥0 gilt: cl I (P ) = cl L k,Q (P ) cl Dies impliziert, dass wir niemals die gemischt-ganzzahlige Hülle cl I (P ) dadurch erreichen können, indem wir den L k− 1 2 ,R×R -Abschluss iterativ auf P anwenden. Das zentrale Theorem für diesen Beweis ist Theorem 563. Ein weiteres ähnliches Resultat für ein Polyeder, welche in der für k row cuts erforderlichen Gleichungsform gegeben ist (vgl. Denition 154), ist Theorem 564. In Abschnitt 15.5.1 nutzen wir diese Resultate, um strikte Inklusionen für weitere Klassen von Cutting-Plane-Operatoren zu zeigen. Diese Resultate haben wir in Theorem 576 und Theorem 577 aufgeschrieben. Teil VII In Teil VII schlieÿen wir die Arbeit mit einer Zusammenfassung (Kapitel 16) und einem Ausblick (Kapitel 17) ab. 8 Abstract Remark: For a more casual introducation into the central ideas of this thesis, in particular those that are introduced in chapter 4 and chapter 5, we refer to chapter 1. Additionally, we want to remark that chapter 16 provides a much more detailed summary of this thesis. Part I The central goal of part I, which consists of chapter 2 and chapter 3, is to introduce basic denitions that are necessary for this thesis. Chapter 2 can be considered as the mathematical basics chapter, in which we introduce numerous denitions and results from various mathematical areas that are used in this thesis. Chapter 3 is an introduction to common classes of cutting planes that were investigated in the literature. For this abstract, we just remark (cf. Denition 120) that a cutting plane for P ⊆ R m × R n (m, n ∈ Z ≥0 ; here, m denotes the number of discrete (integral) variables and n the number of continuous variables) is a linear inequality c ( · ) ≤ c 0 (c ∈ (R m × R n ) T and c 0 ∈ R) for P ∩ (Z m × R n ). Part II Part II consists of chapter 4, 5 and 6. The guiding theme of this part are L k cuts and L k− 1 2 cuts. These two classes of cutting planes form the central topic of this thesis. Chapter 4 forms the central foundations chapter for these two classes of cutting planes and their interplay. In this chapter, we build the whole theory building of L k cuts and L k− 1 2 cuts up from its foundations. The central idea behind L k cuts and L k− 1 2 cuts is to relax the problem of nding cutting planes by replacing the problem of nding linear inequalities for P ∩ (Z m × R n ) by the problem of nding linear inequalities for where V ≤ R m × R n is a vector space of codimension k ∈ {0, . . . , m + n} (the case k = 0 is admitted for formal reasons). We name the rst construction L k cuts and the second one L k− 1 2 cuts. Depending on the properties of the generators of V (rationality conditions) and the existence of continuous variables, this leads to various classes of L k cuts and L k− 1 2 cuts, which we call L k,Q cuts, L k,R cuts, L k− 1 2 ,Q×Q cuts, L k− 1 2 ,Q×R cuts, L k− 1 2 ,R×R cuts, L k− 1 2 ,Q cuts and L k− 1 2 ,R cuts. For the structure of chapter 4: In section 4.2, L k cuts are the central topic: in section 4.2.1, we dene L k cuts (Denition 161) and their closures cl L k,Q ( · ) and cl L k,R ( · ) (Denition 165). The closure with respect to some class of cutting planes for a given P is just the intersection of P with all of the half-spaces that are induced by cutting planes of the respective type. In section 4.2.2, we consider the question how we can characterize L k cuts dierently. In Theorem 168 in section 4.2.2.1, we show that we can restrict ourselves to vector spaces of the form V = V ×R n for both L k,Q cuts and L k,R cuts. In section 4.2.2.2, we consider how we can characterize L k,Q cuts dually. This enables us to connect the theory of L k,Q cuts to the theory of k-dimensional lattice cuts that is studied in [DGMR17] (see Theorem 176). In section 4.3, we dene L k− 1 2 cuts (Denition 179) and L k− 1 2 closures (Denition 182), e.g. cl L k− 1 2 ,Q×Q ( · ) and cl L k− 1 2 ,Q×R ( · ), in an analogue way to what we did in section 4.2.1 for L k cuts. In Remark 156, we formulate central guiding questions, which we analyze in the remaining sections of chapter 4. A central goal is to show that for rational polyhedra, the two hierarchies of cutting plane operators 9 can be merged into a unied hierarchy, i.e. for rational polyhedra P ⊆ R m (m ∈ Z ≥0 , even though only the case m ∈ Z ≥1 is of mathematical importance), we have P = cl L 0,Q (P ) ⊇ cl L 1− 1 2 ,Q (P ) ⊇ cl L 1,Q (P ) ⊇ . . . ⊇ cl L m−1,Q (P ) ⊇ cl L m− 1 2 ,Q (P ) = cl L m,Q (P ) = cl I (P ) (0.4) and for rational polyhedra P ⊆ R m × R n (m ∈ Z ≥0 and n ∈ Z ≥1 , even though only the case m, n ∈ Z ≥1 is of mathematical importance), we have ,Q×R (P ) = cl I (P ) . (0.5) cl I (P ) is the mixed-integer hull of P (see Denition 73). In section 4.5, we analyze the dierences between the dierent kinds of L k and L k− 1 2 cuts/closures. In section 4.6, we start with the project of showing the inclusions in (0.4) and (0.5). An important result for this is Theorem 197, in which we show that for an arbitrary P ⊆ R m × R n (m, n ∈ Z ≥0 ), every L k− 1 2 ,Q×R cut for P (k ∈ {0, . . . , m + n}) is also an L k,Q cut for P with respect to the same vector space V . This, in particular, implies cl L k,Q (P ) ⊆ cl L k− 1 2 ,Q×R (P ) . Pay attention (cf. Remark 198) that the similar looking inclusion cl L k,R (P ) ⊆ cl L k− 1 2 ,R×R (P ) does not hold in general. Another important result is Theorem 199, in which we show that for arbitrary If P is a rational polyhedron (as we demand for (0.4) and (0.5)), we also have cl L (k+1)− 1 2 ,Q×Q (P ) ⊆ cl L k,Q (P ) . In section 4.7, we show in Theorem 202 that for arbitrary P ⊆ R m × R n (m ∈ Z ≥0 and n ∈ Z ≥1 ), we have cl L m,Q (P ) = cl L (m+1)− 1 2 ,R×R (P ) = P ∩ cl I (P ) (cl I (P ) is the closed mixed-integer hull of P ; cf. Denition 73) and if P is a rational polyhedron, even cl L (m+1)− 1 2 ,Q×Q (P ) = cl I (P ) holds. In other words: in this situation, the cl L k− 1 2 ,Q×Q (P ) hierarchy already ends at k = m + 1 and not only at k = m + n (see (0.5)). For section 4.8: let us recall that we showed in Theorem 168 in section 4.2.2.1 that for L k cuts, we can restrict ourselves to vector spaces of the form V = V × R n . Such a restriction is trivially in general not possible for L k− 1 2 cuts. Nevertheless, L k− 1 2 ,Q cuts with respect to such vector spaces are of mathematical importance. In Denition 203, we dene essential L k− 1 2 ,Q cuts, which are L k− 1 2 ,Q×Q cuts/L k− 1 2 ,Q×R cuts with respect to vector spaces V of such a structure. In Theorem 208, we attest the importance of essential L k− 1 2 ,Q cuts: there, we show that the only L k− 1 2 ,Q×R cuts (this includes L k− 1 2 ,Q×Q cuts) which are not already L k−1,Q cuts, are essential L k− 1 2 ,Q cuts. In this sense, one can casually say that essential L k− 1 2 ,Q cuts are the interesting L k− 1 2 ,Q×R cuts, since these are the only L k− 1 2 ,Q×R cuts that have possibly more expressivity than L k−1,Q cuts. In Theorem 211, we use this structural result (Theorem 208) for proving among other things the equivalence of the L k− 1 2 ,Q×Q closure and the L k− 1 2 ,Q×R closure of rational polyhedra. In section 4.9, we investigate what can be said about the L k closures and L k− 1 2 closures of P if P either has a nontrivial lineality space or is contained in a nontrivial rational ane subspace. Until here, it is anything but obvious how to even compute L k cuts and L k− 1 2 cuts concretely. Indeed, we see in section 5.1 that a naive approach for nding L k− 1 2 ,Q cuts easily leads to complexity issues in practice. That 10 is why one is interested in nding alternative characterizations of L k,Q cuts/closure, L k− 1 2 ,Q×Q cuts/closure and essential L k− 1 2 ,Q cuts/closure. There exist two natural approaches to tackle this problem: • Show alternative characterizations which work for general k. This is the topic of chapter 5. • Show alternative characterizations which work for a specic k (that is typically small). This becomes the approach in part III for L 1− 1 2 ,Q×Q cuts (see chapter 8, in particular section 8.1) and L 1,Q cuts (see chapter 9, in particular section 9.1.1) and in part IV (in particular chapter 11) for L 2,Q cuts (section 11.1) and essential L 2− 1 2 ,Q cuts (section 11.2). We just mentioned it: in chapter 5, we show alternative characterizations of L k,Q cuts/closure and essential L k− 1 2 ,Q cuts/closure for a general k. For this, we consider two classes of characterizations: • On one hand, we consider characterizations via lattice-free bodies: In section 5.2, we characterize L k,Q cuts via lattice-free bodies. The nal result can be found in Theorem 240. In section 5.3, we characterize essential L k− 1 2 ,Q cuts for rational polyhedra via lattice-free bodies. The nal result is stated in Theorem 246. • On the other hand, we examine characterizations via t-branch split cuts (see Denition 143). This is the central topic of section 5.4: In Theorem 259, we show the equivalence of the L k,Q closure and the k, h (k)-branch split closure (see Denition 252). The meaning of h (k) is explained in Remark/Denition 248. In Theorem 261, we show the equivalence of the essential L k− 1 2 ,Q closure and the essential k, h (k) branch-split closure (see Denition 253). In Theorem 263, we put these two characterizations together and characterize the L k− 1 2 ,Q×Q closure or L k− 1 2 ,Q×R closure, respectively, of a rational polyhedron by the intersection of its k, h (k)-branch split closure and its k − 1, h (k − 1)-branch split closure. In section 5.4.5, we use the characterizations of L k,Q cuts via k, t-branch split cuts to show that the L k,Q closure of a rational polyhedron is again a rational polyhedron (a result that has independently been shown in [DGMR17, Theorem 2]). In chapter 6, we give an overview on various results concerning the expressivity of various classes of cutting planes and their operators. These are predominantly gathered from the literature. Chapter 6 is divided into three sections: • In section 6.1, we analyze the question which classes of cutting planes or cutting plane operators, respectively, dominate others or not. • Section 6.2 deals with the question whether for a given class of cutting planes, it is always possible to apply the corresponding operator cl ( · ) ( · ) iteratively (if necessary) on P (typically a rational polyhedron) and reach cl I (P ) in a nite number of steps. If this is not possible: does at least the sequence converge (convergence is to be understood in the sense of Denition 308) against cl I (P )? For analyzing this question systematically, we formulate four guiding questions at the beginning of section 6.2. We consider these guiding questions for several classes of cutting plane operators. • In section 6.3, for various classes of cutting planes, we consider the question whether for a given P and a given cutting plane operator cl ( · ) ( · ), the set cl ( · ) (P ) is a (rational) polyhedron. Here, of course, the case that P is already a rational polyhedron is at the center of our considerations. Part III In part III, which consists of chapter 7, 8 and 9, the central topics are integral polyhedra L 1− 1 2 ,Q×Q cuts, L 1− 1 2 ,Q×R cuts and L 1,Q cuts (i.e. L k− 1 2 ,Q×Q cuts, L k− 1 2 ,Q×R cuts and L k,Q cuts in the case k = 1): 11 In chapter 7, the central topic is integral polyhedra. We start this chapter with section 7.1, in which we characterize integrality (Theorem 345) and mixed-integrality (Theorem 347) of polyehdra via optimization problems. We want to remark that such a characterization of mixed-integrality was to our knowledge previously unknown in the literature. Systems of linear inequalities Ax ≤ b (A rational) with the property that if b is integral, so is the polyhedron P ≤ (A, b) ⊆ R m (m ∈ Z ≥0 ; in general for A ∈ R l×d and b ∈ R l (l, d ∈ Z ≥0 ), we dene P ≤ (A, b) := x ∈ R d : Ax ≤ b ), play an important role for describing integral polyhedra. TDI systems are a class of system with this property that is well-known from the literature, but in this chapter we introduce three additional types of systems with this property: TDZ +{0, 1} systems, TD(I ∩ Z)+{0, 1} systems and TDZ +I systems. Chapter 7 centrally deals with the investigation of these types of systems. So, for example, it is well-known in the literature that there exists a close relationship between TDI systems and Hilbert bases. To generalize this relationship to the other types of systems, we introduce (by us) so-called icone systems, Z+icone systems, Z + {0, 1} systems and (icone ∩Z) + {0, 1} systems which are closely related to TDI systems, TDZ + I systems, TDZ + {0, 1} systems and TD(I ∩ Z) + {0, 1} systems. In section 7.6, we analyze how these dierent types of systems can dier in their sizes. Chapter 8 consists of two nearly independent parts whose main similarity consists therein that in both, the L 1− 1 2 ,Q×Q closure or L 1− 1 2 ,Q×R closure, respectively, is considered: • In section 8.1, we investigate the relationship between (projected) Chvátal-Gomory cuts (cf. Denition 122), dual (projected) Chvátal-Gomory cuts (cf. Denition 382), strong (projected) Chvátal-Gomory cuts (cf. Denition 384), L 1− 1 2 ,Q×Q cuts and L 1− 1 2 ,Q×R cuts. An overview about the results is given in section 8.1.2.4. Concerning the situation for polyhedra, the reader should in particular take a look at Theorem 391. • In section 8.2, we consider how to compute the Chvátal-Gomory closure of a polyhedron with rational face normals. For this, we use the frameworks of TDZ+I systems and Z + icone systems from chapter 7: In Theorem 398 in section 8.2.3, we show how we can use TDZ+I systems with an integral left-hand side to represent the Chvátal-Gomory closure of a polyhedron P ⊆ R m (m ∈ Z ≥0 ) with rational face normals. We remark that such a result is well-known in the literature on TDI systems. Thus, in the remainder of section 8.2.3, we focus on the question whether TDZ+I systems for this purpose can be smaller than TDI systems and whether there is additional potential for improvements. In section 8.2.4, we reduce the problem of computing the Chvátal-Gomory closure of a polyhedron P = P ≤ A G , b ⊆ R m × R m (m, n ∈ Z ≥0 ) with rational face normals to the special case that the rows of A G −b form an LP face cone (cf. Denition 356). For such polyhedra, we can characterize the Chvátal-Gomory closure via Z + icone systems. This approach has the advantage over the one using TDZ + I systems that it also works in the mixed-integer case and can be generalized to the split closure; the latter topic is considered in section 9.2 of chapter 9. Also chapter 9 consist of two nearly independent parts whose main similarity consists therein that in both, the L 1,Q closure is considered: • In section 9.1, we analyze the relationship between L 1,Q cuts, split cuts (cf. Denition 126) and MIR cuts (cf. Denition 410). • In section 9.2, we show that the split closure of a polyhedron P ⊆ R m × R m (m, n ∈ Z ≥0 ) with rational face normals is again a polyhedron (a rational polyhedron if P is one). We remark that for the weaker result that the split closure of a rational polyhedron is again a rational polyhedron, there exist numerous proofs in the literature (cf. section 6.3). Our proof uses the framework of Z + icone systems that was developed by us as a central component. Our argumentation closely mirrors the argumentation of our second proof of the polyhecricity of the Chvátal-Gomory closure. Regarding further advantages of our approach, we refer to the beginning of chapter 9. 12 Part IV In part IV, our goal is to derive an alternative characterization of L 2,Q cuts/closure and L 2− 1 2 ,Q×Q /L 2− 1 2 ,Q×R cuts/closure (for the latter one, we focus on essential L 2− 1 2 ,Q cuts/closure). To derive these results, in chapter 10 we show two theorems about embedding full-dimensional lattice-free bodies in R 2 into disjunctions. We remark that a weaker version of Theorem 431 (Theorem 432) was shown in [DDG12]. In chapter 11, we use these embedding results to characterize L 2,Q cuts/closure (in section 11.1) and essential L 2− 1 2 ,Q cuts/closure (in section 11.2) via disjunctions. The nal results can be found in Theorem 462 (L 2,Q closure), Theorem 474 (essential L 2− 1 2 ,Q closure) and Theorem 475 (L 2− 1 2 ,Q×Q closure and L 2− 1 2 ,Q×R closure). Part V In part V (chapter 12 and chapter 13), we show further results about L k cuts and L k− 1 2 cuts: In chapter 12, we consider the question (cf. Problem/Denition 476) how many inequalities in the inequality description of a polyhedron we have to consider simultaneously to be able to derive all L k,Q cuts or L k− 1 2 ,Q×Q cuts, respectively, that are necessary to describe the L k,Q closure or L k− 1 2 ,Q×Q closure, respectively, as an L k,Q cut or L k− 1 2 ,Q×Q cut, respectively, of such a subsystem. A summary of the most important upper and lower bounds for this can be found in section 12.6. Section 12.4.3 delivers an outlook on how these results can be extended to the essential L k− 1 2 ,Q closure (Theorem 496) and L k− 1 2 ,Q×R closure (Theorem 497). In chapter 13, we consider bounds for the L k,Q rank and L k− 1 2 ,Q×Q rank (in particular the former) of a polyhedron P if the integral variables are 0/1-valued. The L k,Q rank or L k− 1 2 ,Q×Q rank, respectively, tells us how often we have to apply the respective cutting plane operator iteratively on P to obtain the mixed-integer hull of P (cl I (P )). In section 13.1, we consider the L k,Q rank. The rst central result is Theorem 515, in which we show the bound rank L k,Q (P ) ≤ m k (m, n ∈ Z ≥0 , k ∈ {1, . . . , m} and P ⊆ [0, 1] m × R n ). Is this bound the best possible? We answer this question positively in Theorem 526 (the second central result of section 13.1) by showing that for all m ∈ Z ≥1 , there exists a rational polytope P ⊆ [0, 1] m such that for all k ∈ {1, . . . , m}, rank L k,Q (P ) ≥ m k is satised. In section 13.2, we derive herefrom bounds for the L k− 1 2 ,Q×Q rank of a rational polyhedron, which, however, does not permit to derive an upper bound for the L 1− 1 2 ,Q×Q rank. Luckily, the closely related problem of nding bounds for the Chvátal-Gomory rank of a polyhedron P ⊆ [0, 1] m (m ∈ Z ≥0 ) is a well-investigated problem in the literature. Therefore, in section 13.2.1, we give an overview of important results from the literature about upper bounds and in section 13.2.2 about lower bounds for the Chvátal-Gomory rank. Part VI Part VI, which consists of chapter 14 and chapter 15, concerns the following topic (cf. section 14.1): can the inclusions in (0.4) and (0.5) also be strict? On this, we formulate the following questions: • Does for all m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 and k ∈ {1, . . . , m} exist a rational polyhedron P ⊆ R m × R n for which we have: cl L k− 1 2 ,Q×Q (P ) cl L k−1,Q (P )? • Does for all m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 and k ∈ {1, . . . , m − 1} if n = 0, {1, . . . , m} if n ≥ 1 exist a rational polyhedron P ⊆ 13 R m × R n for which we have: cl L k,Q (P ) cl L k− 1 2 ,Q×Q (P )? We consider the following even stronger questions: • Does for all m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 and k ∈ {1, . . . , m} exist a rational polyhedron P ⊆ R m for which we have: cl L k− 1 2 ,Q×Q (P ) cl L k−1,R (P )? • Does for all m ∈ Z ≥1 , n ∈ Z ≥0 and k ∈ {1, . . . , m − 1} if n = 0, {1, . . . , m} if n ≥ 1 exist a rational polyhedron P ⊆ R m × R n for which we have: cl L k,Q (P ) cl L k− 1 2 ,R×R (P )? (0.6) In chapter 14, we answer all of these questions positively with the exception of the case n ≥ 1 and k = m in (0.6), which (temporarily) remains open at the end of chapter 14. The central overview concerning this can be found in section 14.9. The central theorems on this are Theorem 543 and Theorem 544. Pay attention that in Theorem 543, we more generally estimate the (m − 1)-branch split closure and the L m−1,Q closure against the (m − 2)-branch split closure, the L m−2,R closure and the L (m−1)− 1 2 ,R closure. The question about a strict inclusion in (0.6) in the case n ≥ 1 and k = m, which stayed open at the end of chapter 14, is a central topic of chapter 15. Here, we show (Theorem 578) the even stronger statement that for all m, n ∈ Z ≥1 and k ∈ {1, . . . , m}, there exists a rational polyhedron P ⊆ R m × R n such that for all ∈ Z ≥0 , we have: cl I (P ) = cl L k,Q (P ) cl This implies that we never attain the mixed-integer hull cl I (P ) by applying the L k− 1 2 ,R×R closure iteratively on P . The central theorem for this proof is Theorem 563. Another similar result for a polyhedron which is given in the equation form that is necessary for k row cuts (cf. Denition 154) is Theorem 564. In section 15.5.1, we use these results to derive strict inclusion for further classes of cutting plane operators. We have written down these results in Theorem 576 and Theorem 577. Part VII In part VII, we conclude the thesis with a summary (chapter 16) and an outlook (chapter 17). 14
doi:10.25673/14086 fatcat:uo3nbokembbgppsgjcxusxzmfu