Relative Minimalflächen

E. Müller
1921 Monatshefte für Mathematik (Print)  
Eine stattliche Anzahl flachentheoretiseher Begriffe~ wie Normale, Normalenkongruenz, Zentraflgch% Parallelitache, Krtimmungs-kugeln~ Krammungslinien, geo&ttische Linien~ lassen sich mittels tier Mannigfaltigkeit der c~z~ Kugeln des Raumes definieren. Die beztiglichen Flacheneigensehaften stellen sigh dann als Beziehungen einer Flaehe zur Kugelmannigfaltigkeit dar. Hat man sich diese Ansehauung zu eigen gGmaeht, so liegt die Frage nahe~ ob sigh diese flgchentheoretischen Begriffe nicht
more » ... iffe nicht allgemeiner definieren lassen( indem man an Stelle der Kugelmannigfaltigkeit andere Mannigfaltigkeiten ~J~ yon cot Flaehen (oder Vereinen yon je ~2 Flaehenelementen) setzt. Fallt die Antwort bejahend a.us~ so soll yon einer "rdativen Fldchentheorie" gesproehen werden, deren S~ttze in die aer gewShnlienen tibergehen, wenn man ~J~ als die Kugelmannigfaltigkeit annimmt. Diese beachtenswerte Verallgemeinerung kntipft an S. Lie an, der als erster den Begriff der K rtimmungslinien in einer kurzen Notiz s) in folgender Weise relativ gefaBt hat. Unter den eine Fl~che qb in einem regul~tren Punkt p berahrenden Flaehen aus ~ gibt as eine endliehe Anzahl~ die auch noeh in einem benaehbarten Punkt bertihren, d. h. (D inp stationar berahren. DadurGh sind jedem Punktlo yon 9 Linienelemente der Fl~ehe zugeordnet; die Integralkurven dieser cos Linienelemente sind die ~0~-Krtimmungslinien yon O. Ich werde reich in dieser Arbeit mit dem wiehtigen, ebenfalls sehon yon Lie betonten Sonderfall besehaftigen, da~ ~J~ aus allen Flaehen /bestehe, die aus 6iner vorgegebenen analytisehen Fl~ehe }0 durch samtliehe zentrisehen Ahnlichkeiten (saint Ausartungen) her-vorgehen~ und insbesondere zeigen~ wie sich beztiglich dieser Mannigfaltigkeit (~) auch Minimalflgchen definieren and einige ihrer Eigenschaften leiGht angeben lassen. Die Eigensehaften maneher Flaehen erseheinen jedenfalls in einem neuen Licht, indem man diese als relative Minimalfl~chen anffa~t. So z. B. werden wir sehen~ dag die der Laplaeeschen Differentialgleiehnng D~s -~-~-s ~ 0 gentigenden ~) Unter ffleichem Ti~el hlel~ der Verf~sser ~uf der ,86. Vers~mmlung Deutseher Na~urforseher und ~rzte in Bad Naaheim" am ~4=. September 19~0 einen Vortrag, worin er die gauptgedanken aus Nr. 1--4~ dleser Arheit mitteil~e, s) Math.'Ann. 5 (187~), S. 195f. --]gerkwiirdigesweise land ieh nut noeh bei G. Darboux und ~. Goursat (vgl. Nr. 5) diese wiehtige Begriffsbildung verwendet. 1" E. Mtiller, Flaehen die Minimalflaehen beztiglieh der Mannigfaltigkeit aller Drehparaboloide mi~ zur z-Aehse paralleler Aehse sin& Die Betraehtungen werden im folgenden~ Ubereinstimmend mit ihrer Entstehung, haupts~ehlieh infinitesimalgeometriseh geftihrt. Anhangsweise (Nr. 5) sind jedoeh die (fast Nr sieh allein verstgndlichen) reehnerisehen Grundlagen Nr die (~)-Fl~ehentheorie saint einigen Anwendungen beigeftifft. Nr. 1. RelatJvierung einiger MaBbegriffe. Es sei bLo eine nieht abwiekelbare oder sons~ ausgeartete reelle analytisehe Flgehe und m o ein eigentlicher reeller, etwa der Fl~tehe nieht angehSriger Punkt. Wir betraehten (mit H. Minkowsl~i) ,% als Eichflache ftir das Strahlbttudel (m0) , d. h. die yon m o naeh den Punkten yon P'o reiehenden Vektoren sollen dieselbe ,Lunge" 1 haben. Jeder Strahl arts (me) sell dabei so vielfaeh tiberdeekt gedaeht w.erden~ als er Sehnittpunkte mit ~o hat; das Btindel (me) ist also wle eine Riemannsehe F1/~ehe mehrfaeh tlberdeekt odor (naeh E. Studys Ausdrueksweise) aus mehreren Sehiehten bestehend zu denken. Bei den folgeuden infinitesimalgeometrisehen Betraehtangen nehmen wir~ ohne es immer neuerlieh zu betonen~ an~ dal~ wir stets in derselben Sehieht verbleiben. Dureh r-faehe Streekung yon m o aus geht ,% in eine F15ehe ~ tiber, die Vektoren yon der ,Lunge" r bestimmen sell. Die dutch Sehiebungen auseinander hervorgehenden Streeken sollen als gleieh lang gelten. Jede Streekung (= zentrisehe Ahnliehkeitstransformation) lagt sieh aus einer Streekung (me, r) yon .mo aus und aus einer Sehiebung zusammensetzen. Unterwirft man ~o samt m o den s~mtliehen cxD~ Streekungen des Raumes~ so erhalt man eine Mannigfaltigkeit ~l~-~--(~)yon ~ Pl~ehen, deren jeder ein "Zentrum'( mund ein "Radius ~' r zugehSrt. Umgekehrt ist dureh das Zentrum m und den Radius r eine einzige Flaehe ~ = (m~ r) der h'Iannigfaltigkeit (~) bestimmt. Die Tangentialebene an ,% in einem Punkt Po sell zum "Radius ~ [moPe] "(tt)-normal" heil~en. Dureh die zentrisehen Ahnlieh-, keiten tibertragt sieh dies auf alle Flaehen (~). Um zu einer Ebene die (~)-normale Riehtung ztt erhalten~ lege man an ~o eine der parallelen Tangentialebenen. Ist 1)o ihr Berahrungspunkt, so gibt [mope] die (~)-normale Riehtung yon a an. Da sieh parallel zu mehrere Tangentialebeneu an bLo legen lassen, so denken wir uns dementspreehend aueh a mehrfaeh tiberdeekt. Zu einer Ebene einer bestimmteu Sehieht (orientierte Ebene) gehtirt dann im allgemeinen nur eine (b0-normale Riehtung. Aueh jede Riehtung ist ia diesem Sinn mehrfach ttberdeekt zu denken~). In jedem regulsren Punkt Po yon ~o gibt es ~ Paare konjugierter Tangenten. Sie sollen die (#)-~ormalen Richtunyen in der 2"anyentialebene a o dos Punktes 19o sowie in jeder dazu paralMen 1) Bez[iglich dieses mir self langem geli~ufigen allgemeineren Orientlerungsgedankens vgl. aueh die Dissertation yon W'. 1~ortzehl, Zur Methode der orientierten Elemente in mehrdimenslonalen Raumen i KSnigsberg i. Pr. 1917~ w 3. Relative Minimalfiiiehen.
doi:10.1007/bf01702709 fatcat:koqyzlp7pzfptix7h62lldfqsa