Нижние оценки относительной емкости компактов и симметризация

Владимир Николаевич Дубинин, Vladimir Nikolaevich Dubinin
2010 Математический сборник  
Нижние оценки относительной емкости компактов и симметризация Дано новое представление относительной емкости (half-plane capacity) ограниченного относительно замкнутого в H = {z : Im z > 0} множества E через внутренний радиус связной компоненты множества H \ E, примыкающей к бесконечности. Установлены нижние оценки этой емкости через емкость множеств, полученных в результате ряда геометрических преобразований множества E, включая симметризацию Штейнера и круговую симметризацию. Рассматривается
more » ... ю. Рассматривается также поведение относительной емкости при линейно и радиально усредняющих преобразованиях семейств компактов {E k } n k=1 . Библиография: 10 названий. Ключевые слова: емкость, внутренний радиус, симметризация Штейнера, круговая симметризация, радиальное преобразование, линейно усредняющее преобразование, радиально усредняющее преобразование. Введение Пусть E -относительно компактное подмножество верхней полуплоскости H = {z : Im z > 0}. Понятие относительной емкости множества E (half-plane capacityhcap E) естественным образом возникает в статистической физике при изучении эволюций Шрамма-Левнера (см. [1]-[3]). Существует несколько определений этой емкости, например через так называемое комплексное броуновское движение (см. [1; § 3.4]). Если множество H \ E является односвязной областью, то относительная емкость эквивалентно определяется из разложения где функция Φ E осуществляет конформное и однолистное отображение области H \ E на полуплоскость H. Емкость hcap E не убывает при расширении множества E, не меняется при сдвиге E вдоль вещественной оси, Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-01-00028) и Дальневосточного отделения РАН (грант № 09-II-СО-01-004). c ⃝ В. Н. Дубинин, 2010
doi:10.4213/sm7666 fatcat:grq2n67pszacneb7egyqu54oj4