Many special functions are solutions of both, a differential and a functional equation. We use this duality to solve a large class of abstract Sturm-Liouville equations, initiating a theory of Sturm-Liouville operator functions; cosine, Bessel, and Legendre operator functions are contained as special cases. This is part of a general concept of operator functions being multiplicative with respect to convolution of a hypergroupcontaining all representations of (hyper)groups, and further abstract

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... auchy problems. Viele spezielle Funktionen lösen sowohl eine Differential-als auch eine Funktionalgleichung. Wir verwenden diese Dualität um eine große Klasse von abstrakten Sturm-Liouville-Gleichungen zu lösen. Hierfür wird eine Theorie von Sturm-Liouville-Operatorfunktionen angestoßen; Kosinus-, Bessel-und Legendre-Operatorfunktionen sind als Spezialfälle enthalten. Dies ist Teil eines allgemeinen Konzepts von Operatorfunktionen, die multiplikativ bezüglich einer Hypergruppen-Faltung sind; alle Darstellungen von (Hyper)gruppen und weitere abstrakte Cauchy-Probleme sind darin enthalten. iii