Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple

Anne Moreau
2006 Bulletin de la Société Mathématique de France  
The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose g semisimple, then its index, ind g, is equal to its rank, rk g. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of n(g ξ ), for ξ nilpotent, where n(g ξ ) is the normaliser in g of the centraliser g ξ of ξ. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev [5] : where z(g ξ ) is the center of g ξ . D. Panyushev obtained in [5] the
more » ... tained in [5] the inequality ind n(g ξ ) ≥ rg g − dim z(g ξ ) and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra S(g ξ ) implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix. 2) n(g ξ ) = g ξ ⊕ [η, z(g ξ )]. En particulier, dim n(g ξ ) = dim g ξ + dim z(g ξ ) et on a l'égalité [n(g ξ ), ξ] = z(g ξ ). Si u est un sous-espace de g, on note u ⊥ l'orthogonal de u pour la forme de Killing , de g. On va décrire l'orthogonal de certains sous-espaces. On a la proposition bien connue dont la démonstration est rappelée en [1], Lemme 5.6 : Puisque g η⊥ = [η, g], la deuxième relation permet d'identifier le dual de g ξà g η via la forme de Killing. Soit g ′ un sous-espace de g ξ stable par adρ. Les sous-espaces g ξ et [η, g ′ ] ont une intersection nulle d'après la proposition 2 et on s'intéresse au sous-espace g ξ ⊕ [η, g ′ ] de g. Son orthogonal est décrit par la proposition suivante : Proposition 3 Soit g ′ un sous-espace de g ξ stable par adρ, alors on a : Démonstration. Il est clair que g ξ est contenu dans l'orthogonal de [ξ, g ′⊥ ]. Soit u dans g ′ , alors on a : car [ρ, u] appartientà g ′ , puisque g ′ est stable par adρ. On a ainsi montré que le sousespace g ξ ⊕ [η, g ′ ] est contenu dans l'orthogonal de [ξ, g ′ ⊥ ]. Calculons les dimensions des deux sous-espaces : De la démonstration de la propostion 2, il résulte la décompositon g ′ = g ′ ∩ g ξ ⊥ ⊕ g ′ ∩ g η . De plus, on a : De cetteégalité et de la décompostion précédente, on déduit la relation : ce qui donne : dim(g ′ ⊥ ∩ g ξ ) = dim g ξ − dim(g ′ ∩ g η ). Par suite les deux sous-espaces g ξ ⊕ [η, g ′ ] et [ξ, g ′ ⊥ ] sont de même dimension et la proposition s'ensuit. Avant de démontrer la proposition, onétend encore un peu la définition de l'indice. Ceci permettra d'interpréter géométriquement la matrice D E . Soit q une algèbre de Lie complexe, V et V ′ deux espaces vectoriels de dimension finie sur C et soit ρ : q → L(V, V ′ ) une application linéaire de q dans l'espace des applications linéaires de V dans V ′ . Pour ϕ dans (V ′ ) * , on note q ϕ = {s ∈ q | ϕ(ρ(s)v) = 0, ∀v ∈ V } le «stabilisateur de ϕ» et on note q· ρ ϕ l'image dans V * de l'application quià s dans q associe la forme linéaire v → −ϕ(ρ(s)v) définie sur V . Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité on omet l'indice ρ. On pose, par analogie avec l'indice, r(q, V, V ′ ) = dim V − max ϕ∈(V ′ ) * (dim q · ρ ϕ)· Notons que ρ n'est pas un morphisme d'algèbres de Lie en général ; l'espace L(V, V ′ ) n'est même pas une algèbre de Lie ! En revanche, si V = V ′ et si ρ est une représentation de q dans V , on retrouve l'indice ind (q, V ) du q-module V . On considère, toujours par analogie avec l'indice, la forme bilinéaireà valeurs dans V ′ : En composant cette application avec unélément ϕ de (V ′ ) * , on obtient une forme bilinéairè a valeurs dans C : On vérifie facilement l'égalité : Cetteécriture permet de voir que l'ensemble des formes linéaires ϕ de (V ′ ) * telles que dim q · ρ ϕ = dim V − r(q, V, V ′ ) est un ouvert dense de (V ′ ) * . En choisissant des bases sur q et V , on peut considérer K(q, V, V ′ ) comme une matrice de taille dim V × dim qà coefficients dans V ′ , où V ′ est identifiéà la composante de degré 1 de l'algèbre symétrique S(V ′ ). Ainsi, on obtient l'égalité : r(q, V, V ′ ) = dim V − rang K(q, V, V ′ )· Prouvons maintenant la proposition 5 :
doi:10.24033/bsmf.2502 fatcat:p4aukw2tfrglfpv3r5cvhayziq