Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung. (Fortsetzung)

M. Stern
1834 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
Von dem Herrn Dr. Siern> m Göttmgeo.) 63. * IN ach diesen Vorbereitungen wird es leichler sein, die Theorie der Sumnmtion der Kettenbrüche zu entwickeln. Die .Summe eines Kettenbruche kann entweder mittelbar gesucht werden, indem man den Kettenbruch auf einen anderen ins Unendliche fortlaufenden Ausdruck zurückfährt, dessen Summe leichter gefunden werden kaiin, oder unmittelbar, indem man einen geschlossenen Ausdruck sucht, der den Werth des Kettenbrucbs angiel)t. Die ins Unendliche
more » ... ndliche fortlaufenden Ausdrücke lassen sich aber auf drei Klasse» zurückführen, deren Entstehung auf den arithmetischen Grundoperationen beruht* Die unendlichen Reihen sind ein fortgesetztes Addiren und Subtrahiren, die unendlichen Producte ein fortgesetztes Multipliciren, die Kettenbrüche ehj fortgesetztes Dividiren. Alle anderen continuirlichen Ausdrücke müssen sich auf diese zurückfuhren lassen; die mittelbare Sumrnation der Kettenbrüche wird sich daher darauf besjchränken, dafs man diese entweder in unendliche Reihen oder in unendliche Producte verwandelt. Die Regeln zu dieser Verwandlung sind in den vorhe^gehenden Capiteüi gegeben, und es wäre daher dieser Gegenstand #ls abgethau zu betrachten, wenn nicht noch einige Umstaade zu berüdisichtigen waren, .deren fiTiclitbeachtung zu grofsen Irrthümern fuhren kann und geführt hat. Wird .ein convergenter Kettenbruch nach §. 28. oder §. 50. in eine Reihe oder in ein unendliches Pjroduct verwandelt, so ist hier weiter keine Vorsicht niithig, sondern sobald man im Stande ist, die Summe einer solchen Reihe x>der emes solchen Products apzuge»» ben, so wird diese mit Bestimmtheit auch .als Werth des Kettenbruche angesehen werden können. Die nach dieser Methode erhaltenen Reihen oder Producte ,smd_ piqht blofe im Ganzen dem Kettenbruche gleich, sondern es entspricht auch jeder Theil^ jeder Näheruugswerth derselben, CceUe's Journal d. M. Bd. Xi. Hft 1. ' 5 Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 5/27/15 3:02 PM
doi:10.1515/crll.1834.11.33 fatcat:zl6diwfby5erxl6fv2pag4lure