Über Automorphiefaktoren und die Dedekindschen Summen

Armin Leutbecher
1970 Glasgow Mathematical Journal  
Einleitung. Bei der Betrachtung automorpher Formen zu diskreten Untergruppen F von SL 2 (R) m i t nicht ganzzahligem Gewicht bzgl. des Automorphiefaktors J(A,z) = (cz+d)~2, A = I I, hat man einen Zweig L(A,z) des Logarithmus von J(A,z) zu fixieren. Durch 2niW{A,B) = L(AB,z)-L(A,Bz)-L(B,z) wird dann ein 2-Kozyklus W von SL 2 {R) mit Koeffizienten in Z definiert. Die verschiedenen Zweige von log J(A,z) liefern gerade die samtlichen Kozyklen einer Kohomologieklasse. Indes existieren Fixierungen
more » ... eren Fixierungen von L(A, z), fur die ffsymmetrisch, d.h. stets W{A, B) = W{B, A), ist. Das folgt aus einem allgemeinen Kriterium in Lemma 1. Die explizite Konstruktion von L(A,z) mit symmetrischem W bringt Abschnitt 2. Anwendungen auf automorphe Formen werden im dritten Abschnitt gegeben. Insbesondere ergibt sich eine einigermaBen handliche Form fur die " Periode " : T -• C mit der Eigenschaft co(AB) = co(A)+co(B)+ W(A,B), wie sie durch a)(A) = 4co(r], A) gegeben wird-bedeutet nichts anderes als das Zerfallen einer durch W definierten zentralen Gruppenerweiterung. DaB sie im Falle Y = SL 2 (Z) zerfallt, ist eine Konsequenz elementarer Satze der Kohomologietheorie. Weil r / < + l J> freies Produkt von zyklischen Gruppen endlicher Ordnung ist, ist die Abbildung co eindeutig bestimmt. Man hat dadurch eine von der Dedekindschen Funktion unabhangige Definition fiir co.
doi:10.1017/s0017089500000823 fatcat:eezu2jgszzaa3laag6w7lyqeui