On integrals of hydrodynamics equations, corresponding to vortex motions
Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям

G. Helmgolz
2006 Нелинейная динамика  
Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям 1 Г. Гельмгольц До сих пор интегралы уравнений гидродинамики отыскивались почти исключительно в том предположении, что прямоугольные компоненты скорости каждой жидкой частицы могут быть приравнены производным, взятым по соответственным направлениям от некоторой определенной функции, которую мы условимся называть потенциалом скоростей [1] . И, действительно, еще Лагранж 2 доказал, что это предположение допустимо во всех
more » ... опустимо во всех тех случаях, когда движение жидкой массы возникло и продолжается под действием сил, которые сами могут быть представлены как производные от потенциала сил; он далее показал, что и влияние движущихся твердых тел, которые приходят в соприкосновение с жидкостью, не изменяет пригодности этого предположения. Но так как большинство поддающихся точному математическому определению сил природы может быть представлено в виде производных от потенциала сил, то отсюда и большая часть подлежащих математическому рассмотрению случаев движения жидкости принадлежит именно к тем, при которых существует потенциал скоростей. Между тем, уже Эйлер 3 обратил внимание на то, что существуют и такие случаи движения жидкости, при которых не имеет места потенциал скоростей, например вращение жидкости около оси при одинаковой угловой скорости всех частиц. К силам, способным вызвать такого рода движение, принадлежат силы магнитные, действующие на жидкость, по которой пробегает электрический ток, и в особенности трение частиц жидкости между собой и о твердые тела. Влияние трения в жидкостях [2] до сих пор еще не поддавалось математическому определению, а между тем во всех случаях, где дело идет не о бесконечно малых колебаниях, оно очень велико и порождает весьма значительные отклонения от теории. Трудность определения этого влияния и отыскания метода для его измерения обуславливались, главным образом, пожалуй, тем, что не имелось вовсе наглядного представления о формах таких движений, которые вызываются в жидкости трением. В этом отношении мне казалось поэтому весьма важным подвергнуть исследованию формы движения, при которых не существует потенциала скоростей. Дальнейшее исследование покажет нам, что в тех случаях, где существует потенциал скоростей, мельчайшие частицы жидкости не имеют вращательного движения, но, по крайней мере, часть жидких частиц находится во вращении, поскольку потенциал скоростей не имеет места. Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям 475 Можно доказать, что прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкой массе, ограниченной только перпендикулярными к нитям плоскостями, вращаются вокруг общего их центра тяжести, если для определения этой точки принимать скорость вращения равной плотности массы. Положение центра тяжести остается неизменным. Наоборот, в случае круговых вихревых нитей, которые все расположены перпендикулярно к общей оси, центр тяжести их поперечного сечения перемещается параллельно этой оси. разложенные по этим новым осям координат скорости u 1 , v 1 и w 1 получают значения:
doi:10.20537/nd0604008 fatcat:6icuygbkvffsniovvbrxu5mso4