Décomposition de Helmholtz par ondelettes : convergence d'un algorithme itératif

Erwan Deriaz, Kai Bittner, Valérie Perrier, Jean-Frédéric Gerbeau, Stéphane Labbé
2007 ESAIM: Proceedings and Surveys  
Dans ce qui suit, on présente des ondelettesà divergence nulle et des ondelettesà rotationnel nul, et on définit des projecteurs associés : ces projecteurs permettent de construire un algorithme itératif de décomposition de Helmholtz par ondelettes. Cette décomposition de Helmholtz est localisée en espace, contrairementà une décomposition de Helmholtz qui serait calculée par transformée de Fourier. On démontre la convergence de l'algorithme en dimensions 2 et 3, dans le cas particulier des
more » ... articulier des ondelettes de Shannon. Abstract. In what follows, we present tensor-product divergence-free and curl-free wavelets, and we define associated projectors. These projectors permit the construction of an iterative algorithm for the computation of the Helmholtz decomposition in terms of wavelets. This Helmholtz decomposition is localized in space, in contrast to a Helmholtz decomposition calculated by the Fourier transform. Finally, we show the convergence of the algorithm in 2 and 3 dimensions for the particular case of Shannon wavelets. * Ce travail a reçu le soutien du projet européen HPRN-CT-2002-00286 "Breaking complexity". ESAIM: PROCEEDINGS Cette décomposition découle de la mise en somme directe orthogonale des espaces H div 0 (R n ), l'espace des fonctions vectoriellesà divergence nulle, et H rot 0 (R n ) celui des fonctions vectoriellesà rotationnel nul. En résumé : Cette décomposition est immédiate dans (L 2 (R n )) n , grâce au projecteur de Leray (projecteur orthogonal de (L 2 (R n )) n dans H div 0 (R n )) qui est explicite dans le domaine de Fourier. Sur des ouverts Ω, la décomposition (1) est toujours vérifiée [6, 2]. On construit dans la partie 1 des bases d'ondelettes biorthogonales de H div 0 (R n ) et H rot 0 (R n ), et des projecteurs associés. Comme ces projecteurs sont obliques, on définit dans la partie 2 un algorithme itératif de décomposition de Helmholtz par ondelettes, dont on prouve la convergence en partie 3.
doi:10.1051/proc:071803 fatcat:2oecqwr66jadrh4rq7lmwzdl2y