Results on the homotopy type of the spaces of locally convex curves on $\protect \mathbb{S}^3$

Emília Alves, Nicolau C. Saldanha
2019 Annales de l'Institut Fourier  
A curve γ : [0, 1] → S n of class C k (k n) is locally convex if the vectors γ(t), γ (t), γ (t), . . . , γ (n) (t) are a positive basis to R n+1 for all t ∈ [0, 1]. Given an integer n 2 and Q ∈ SO n+1 , let LS n (Q) be the set of all locally convex curves γ : [0, 1] → S n with fixed initial and final Frenet frame Fγ (0) = I and Fγ (1) = Q. Saldanha and Shapiro proved that there are just finitely many nonhomeomorphic spaces among LS n (Q) when Q varies in SO n+1 (in particular, at most 3 for n =
more » ... , at most 3 for n = 3). For any n 2, one of these spaces is proved to be homeomorphic to the (well understood) space of generic curves (see below), but very little is known in general about the others. For n = 2, Saldanha determined the homotopy type of the spaces LS 2 (Q). The purpose of this work is to study the case n = 3. We will obtain information on the homotopy type of one of these two other spaces, allowing us to conclude that none of the connected components of LS 3 (−I) is homeomorphic to a connected component of the space of generic curves. Résumé. -La courbe γ : [0, 1] → S n de classe C k (k n) est localement convexe si les vecteurs γ(t), γ (t), γ (t), . . . , γ (n) (t) forment une base positive de R n+1 pour chaque t ∈ [0, 1]. Pour un entier n 2 et Q ∈ SO n+1 , soit LS n (Q) l'ensemble de toutes les courbes localement convexes γ : [0, 1] → S n avec repères de Frenet initial et final fixes Fγ (0) = I et Fγ (1) = Q. Saldanha et Shapiro ont demontré qu'il n'y a qu'un nombre fini d'espaces non-homéomorphes parmi les LS n (Q) avec Q ∈ SO n+1 (en particulier, au plus 3 pour n = 3). Pour n 2, ils demontrent qu'un de ces espaces est homéomorphe à l'espace (bien compris) des courbes génériques (défini ci-dessous) mais on connaît très peu les autres espaces. Pour n = 2, Saldanha a déterminé le type d'homotopie des espaces LS 2 (Q). Le but de ce travail est d'étudier le cas n = 3. On obtient des informations sur le type d'homotopie d'un de ces autres deux espaces, ce qui nous permet de déduire qu'aucune des composantes connexes de LS 3 (−I) n'est homéomorphe à une composante connexe de l'espace des courbes génériques.
doi:10.5802/aif.3267 fatcat:zuadjigfxfgszjleeqjbg7mr7e