The mean, median, and mode of unimodal distributions: a characterization

С Басу, S Basu, Anirban Dasgupta, Anirban Dasgupta
1996 Teorija verojatnostej i ee primenenija  
Для одновершинного распределения на вещественной прямой знаменитое mean-median-mode неравенство (неравенство, связыва ющее среднее, медиану и вершину распределения) утверждает, что они часто «идут» в алфавитном или обратном алфавитном порядке (на английском языке). Известны различные достаточные условия выполнения этого неравенства. В данной статье полностью описа но трехмерное множество средних, медиан и вершин одновершинных распределений. Установлено, что это множество линейно связно, но не
more » ... йно связно, но не является выпуклым. Выведены некоторые фундаментальные нера венства, связывающие среднее, медиану и вершину одновершинных распределений. Эти неравенства применяются для (i) доказатель ства неодновершинности некоторых распределений и (и) получения оценок для медианы одновершинного распределения. В многомерном случае используется обобщенное понятие а-одновершинности и даны характеризации множества средних векторов, когда вершина фикси рована или «бегает» по сфере. В частности, обнаружено, что мно жество средних векторов обобщенных одновершинных распределений с заданными вершиной и ковариационной матрицей есть в точности эллипсоид и этот эллипсоид полностью описан. Ключевые слова и фразы: а-одновершинность, связный, выпук лый, эллипсоид, среднее, mean-median-mode неравенство, медиана, вершина, проблема моментов, сфера, звездная одновершинность, рав номерное распределение, одновершинность. Let X be a real valued random variable with a cumulative distribution function (c.d.f.) F, and mean ц -fi[F] = E^(X) < oo. A number m = m[F] is said to be a median of X if P{X ^ m} ^ \ and P{X ^ m} ^ |. A median m, thus denned, always exists, although in general, a random variable X may have several medians. Suppose, furthermore, that X is unimodal about some point M = M[F] (called a mode of X), i.e., F(x) is
doi:10.4213/tvp2942 fatcat:ht7l2uztk5f7zda7kao2yq6dpy