О топологических свойствах пространства Скорохода

Александр Викторович Колесников, Aleksandr Viktorovich Kolesnikov
1998 Teorija verojatnostej i ee primenenija  
О топологических свойствах пространства Скорохода 781 © 1998 г. КОЛЕСНИКОВ А. В.* О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПРОСТРАНСТВА СКОРОХОДА 1 ) Установлено, что пространство Скорохода D\ (X), где X С Е -некоторое коаналитическое множество в польском пространстве Е -также является коаналнтическим в польском пространстве D\ (Е). В то же время показано, что для суслинского X С Е пространство D\(X) может даже не быть универсально измеримым в D\(E). Ключевые слова и фразы: пространство Скорохода, топология
more » ... орохода, топология Скорохо да, польское пространство, суслинское (аналитическое) множество, проектив ный класс, универсально измеримое множество, пространство замкнутых подмно жеств топологического пространства. В последнее время в теории случайных процессов все чаще возникают задачи, связанные с пространством Скорохода D\ (Е), где Е -некоторое вполне регулярное пространство (см. [1]). Важность таких пространств проистекает из того, что многие типичные марковские процессы, пространство состояний которых -топологическое пространство Е, имеют траектории из пространства Скорохода (см., например, [13], [5]). В связи с этим полезно было бы знать, какие топологические свойства, которыми обладает пространство Е, сохраняются также для пространства D\(E). Отметим, что подобного рода вопросы возникают даже для числовых процессов, если в качестве фазового пространства брать не всю числовую ось R, а какие-либо борелевские или суслинские подмножества пространства R. Пространство D\(R) ввел А. В. Скороход в [17] (см. также [18], [19]). А. Н. Кол могоровым в [12] было доказано, что D\(R) -польское пространство. Явный вид метрики, превращающей D\ (R) в полное пространство был указан в [16] Ю. В. Про хоровым (см. также более компактные формулы в [2]). Известно, (см. [9]), что, если пространство Е -польское, то таковым является и D\ (Е). В этой заметке будет дан ответ на вопрос, всегда ли будет пространство D\(X) С D\(E) суслинским подмножеством пространства D\(E) для суслинского X С Е. Известно, что это так, если пространство D\ (X) наделено топологией по точечной сходимости (см. [10]). Оказывается, что если D\(X) наделено топологией Скорохода, то это может быть неверно даже в весьма простых случаях, например, если в качестве X взять множество всех рациональных чисел из [0,1]. При некоторых теоретико-множественных предположениях можно показать, что множество В\{Х) может даже не быть универсально измеримым. В то же время, если X имеет суслин ское дополнение, то пространство D\ (X) тоже будет иметь суслинское дополнение. 1. Некоторые вспомогательные результаты* Различные свойства про странства Скорохода рассматривались в [14], [8], [3]. Мы используем обозначения из [8]. Пусть (Е, г) -вполне регулярное топологическое пространство, топология г в котором описывается семейством псевдометрик р а . Пространством Скорохода D\(E) называется пространство отображений х: [0,1] -• Е, непрерывных справа и имеющих левосторонние пределы для всех t > 0, с топологией, описываемой следую-* Механико-математический факультет, МГУ, Воробьевы горы, 119899 Москва, Россия. 1 ^Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 96-15-96865, 97-01-00932 и российско-германского гранта. Аналогично получаем dist(K°, F 0 ) < е,р(д к0 ,д р0 ) < е. t Заметим, что для всех п > N имеем p(g F0 ,g F n) < £. В качестве A n G Л мож но взять кусочно-линейную функцию, причем A n (a°) = aJ\A n (fe9) = Ь п . Остается воспользоваться неравенством треугольника: р(д к01 д К п ) < 25 + е < Не. Теорема 2.2. Предположим, что в классе СРСА отрезка [0,1] существует множество, не являющееся универсально измеримым (см. [15]). Тогда существует такое суслинское множество А, что 2 А не является универсально измеримым. Доказательство. Пусть А С [0,1] -суслинское множество, при чем существует такое непрерывное отображение /: А с н+ [0,1], что дополнение О топологических свойствах пространства Скорохода N(t) = Ni(A(tj), t >0. В этом случае будем говорить, что процесс Кокса N(t) управляется процессом A(t). Свойства процессов Кокса подробно описаны в [1]. *Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, Воробьевы горы, 119899 Москва, Россия.
doi:10.4213/tvp2079 fatcat:excczf5glvhxfbmogtrjqrgaly