THE ANALYSIS OF TWO QUEUING SYSTEMS HE2/M/1 WITH ORDINARY AND SHIFTED INPUT DISTRIBUTIONS

V. N. Tarasov
2019 Radìoelektronika, Ìnformatika, Upravlìnnâ  
д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой программного обеспечения и управления в технических системах Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, Россия. АННОТАЦИЯ Актуальность. В теории массового обслуживания исследования систем G/M/1 и G/G/1 актуальны в связи с тем, что до сих пор не существует решения в конечном виде для общего случая при произвольных законах распределений входного потока и времени обслуживания. Рассмотрена задача вывода решения для
more » ... решения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме для двух систем с обычными и со сдвинутыми гиперэрланговскими и экспоненциальными входными распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы -среднего времени ожидания требований в очереди для двух систем массового обслуживания типа G/M/1 и G/G/1 с обычными и со сдвинутыми гиперэрланговскими и экспоненциальными входными распределениями. Метод. Для решения поставленной задачи использован классический метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли. Данный метод позволяет получить решение для среднего времени ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли играет важную роль в теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Впервые получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для двух систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме. Выводы. Получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемых систем и с их помощью выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди для этих систем в замкнутой форме. Эти выражения расширяют и дополняют известные формулы теории массового обслуживания для среднего времени ожидания для систем G/M/1 и G/G/1 с произвольными законами распределений входного потока и времени обслуживания. Такой подход позволяет рассчитать среднее время ожидания для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Все остальные характеристики систем являются производными от времени ожидания. Кроме среднего времени ожидания, такой подход дает возможность определить и моменты высших порядков времени ожидания. Учитывая тот факт, что вариация задержки пакетов (джиттер) в телекоммуникациях определяется как разброс времени ожидания от его среднего значения, то джиттер можно будет определить через дисперсию времени ожидания. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гиперэрланговский и экспоненциальный законы распределения, интегральное уравнение Линдли, метод спектрального разложения, преобразование Лапласа. Results. The spectral decompositions of the solution of the Lindley integral equation for a pair of dual systems are for the first time received, with the help of which the formulas for the average waiting time in a closed form are derived. Conclusions. The spectral expansions of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration are obtained and with their help the formulas for the average waiting time in the queue for these systems in a closed form are derived. These expressions expand and supplement the known queuing theory formulas for the average waiting time for G/M/1 and G/G/1 systems with arbitrary laws distributions of input flow and service time. This approach allows us to calculate the average latency for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. All other characteristics of the systems are derived from the waiting time. In addition to the average waiting time, such an approach makes it possible to determine also moments of higher orders of waiting time. Given the fact that the packet delay variation (jitter) in telecommunications is defined as the spread of the waiting time from its average value, the jitter can be determined through the variance of the waiting time.
doi:10.15588/1607-3274-2019-2-8 fatcat:aaf6j5o5bvahnjn6dzivxfa2vq