Zur Theorie der Transformation algebraischer Functionen

H. Weber
1873 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
Xjesteht zwischen zwei Veränderlichen s, z eine irreductible algebraische Gleichung, welche in Bezug auf s vom Grade n, in Bezug auf z vom Grade m ist: n m F(s,z) = 0, so wird der Verlauf der Function s durch eine die 3-Ebene allenthalben ^-fach bedeckende Riemannsche Fläche T dargestellt. Ist die Ordnung des Zusammenhangs dieser Fläche 2p + i^ die Anzahl der einfachen Verzweigungspubkte w, wobei ein Verzweigungspunkt höherer Ordnung als eine Anhäufung von mehreren einfachen Verzweigungspunkten
more » ... Verzweigungspunkten betrachtet wird, so besteht nach Riemann die Relation: p = -||0 -n + 1. Die Zahl p heisst nach Clebsch das Geschlecht der Gleichung F = 0. Es sei nun *i = 9>fo«) irgend eine rationale Function von s und z, welche in % Punkten der Fläche T unendlich gross von der ersten Ordnung wird, und daher jeden beliebigen Werth in n L Punkten dieser Fläche annimmt. Durch Vermittlung dieser Function wird die Fläche T in den kleinsten Theilen ähnlich auf eine andere Fläche Ti abgebildet, welche die sr-Ebene überall %-fach bedeckt, so dass jedem Punkt von T ein Punkt von T L entspricht und umgekehrt. Es ist sonach der Zusammenhang der Fläche 1\ ebenfalls von der Ordnung 2p + i wie der von T, und jede eindeutige Function, des Ortes in 2 ist eine ebensolche Function in T 1? welche an entsprechenden Stellen die gleichen Unstetigkeiten besitzt. Ist nun Sl ='y(*,«) eine zweite rationale Function von s und z, die in m t Punkten von Tunendlich von der ersten Ordnung wird, so ist sie auch eindeutig in T* bestimmt
doi:10.1515/crll.1873.76.345 fatcat:ppk3cwuqvfgxjokqnefusbesdm