Theorie der unendlich dünnen Strahlenbündel

1888 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
In seiner grundlegenden Arbeit "Allgemeine Theorie der geradlinigen Strahlensysteme 4 ' (dieses Journal Bd. 57) hat Herr E. E. Kummer die zweifach unendlichen Schaaren gerader Linien mit denjenigen Hülfsmitteln untersucht, welche die Theorie der krummen Oberflächen liefert, und damit der Theorie der Strahlensysteme den ihr zukommenden Platz angewiesen. Wenn in der vorliegenden Abhandlung derselbe Gegenstand dennoch noch einmal aufgenommen worden ist, so sind hierfür hauptsächlich zwei Gründe
more » ... lich zwei Gründe massgebend gewesen. Einmal ist es mir bei eingehenderem Studium dieser Theorie gelungen, Methoden zu finden, mit deren Hülfe man die a. a. 0. gefundenen eleganten Resultate fast ohne alle Rechnung ablesen kann. Die ganze Theorie der unendlich dünnen Strahlenbündel lässt sich nämlich auf die Untersuchung zweier quadratischen Differentialformen zurückführen. Stellt man aber diese Formen mit Hülfe einer simultanen Transformation als Summen von Quadraten dar, so vereinfacht sich die Herleitung aller hierher gehörigen Resultate in überraschender Weise, und es kann jetzt zweifelhaft erscheinen, ob der Vorzug grösserer Einfachheit, welchen Möbim (Sitzungsber. d. sächs. Ges. d. Wiss. v. 15. März 1862) für seine mehr geometrische Behandlung dieser Theorie geltend macht, ihr auch jetzt noch zuzusprechen ist, ganz abgesehen davon, dass die hier angegebenen Methoden unmittelbar bei analogen Untersuchungen innerhalb höherer Mannigfaltigkeiten angewendet werden können. Zweitens hoffe ich, durch Hinzufügung einer Reihe von neuen Resultaten die /fwwmerschen Untersuchungen in einigen wesentlichen Punkten ergänzt zu haben. In ihr sind nämlich im Wesentlichen nur die fünf Hauptpunkte des Mittelstrahles eines Bündels, nämlich sein Mittelpunkt, sowie seine beiden Brenn-und Grenzpunkte betrachtet und die Haupt-Journal für Mathematik Bd. CII. Heft 4. 35 Brought to you by | University of Manchester Authenticated Download Date | 5/19/15 2:49 PM
doi:10.1515/crll.1888.102.273 fatcat:pmriqklgorfireytkdhzdu4wve